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Salve a tutti, studiando la continuità delle funzioni, mi è venuto questo dubbio :

Consideriamo la funzione $ f(x)={ ( x^2sin(1/x) if x!= 0 ),(( 0 if x=0)):} $
La funzione $f'(x)$ , possiede una discontinuità di seconda specie ma nonostante tutto gode della proprietà dei valori intermedi .Questo significa che se una funzione possiede la proprietà dei valori intermedi, non è detto che essa sia continua .
A questo punto mi chiedo, ma $f(x)$ è integrabile?esiste una primitiva ?
Lo stesso discorso vale per la funzione parte intera : $y=[x]$, essa però possiede a differenza della prima, delle discontinuità di tipo salto dunque dovrebbe essere integrabili "alla Riemann" anche se non è possibile trovare la primitiva?

P.S.
Perché le funzioni derivate non possono avere punti di discontinuità di tipo salto ma solo di seconda e terza specie ?

Qualcuno può aiutarmi?

Stai facendo un minestrone, un sacco di domande disparate, come si fa a rispondere? Comunque, tutte le funzioni continue sono integrabili, come dovresti sapere. Quella di questo thread è una funzione continua.

Ciao Salvy.
Se ho capito la tua domanda, ti stai chiedendo quando una funzione discontinua è integrabile secondo Riemann.

L'integrabilità non dipende dal tipo di discontinuità, ma dal 'numero' di punti di discontinuità.

C'è un teorema che dice che una funzione (limitata) è integrabile secondo Riemann quando il suo insieme di punti di discontinuità è al più numerabile (detto in termini di teoria della misura, quando l'insieme dei punti in cui la funzione è discontinua ha misura nulla).
E' un teorema che in genere non si fa a Analisi I e II, si fa più in là, in genere in un corso più avanzato, di solito Analisi Reale, quando si fa teoria della misura. Nel caso avessi la curiosità di vedere questo teorema puoi ad esempio guardare Royden, Real Analysis.
Per avere funzioni non integrabili secondo Riemann bisogna andare su funzioni un po' 'strane'.
L'esempio classico è la funzione di Dirichlet, che vale $1$ sui razionali e $0$ su gli irrazionali.
Ha un insieme più che numerabile di punti di discontinuità.

Sulle discontinuità della funzione derivata non so che dirti.

p.s. Che è la proprietà di Darboux?

Le derivate comunque possono avere discontinuità solo di terza specie (ovvero per cui non esistono i limiti destro o sinistro), e di nessun altro tipo (eliminabile, salto o seconda specie, anche se qua dipende un po' dalla terminologia che si usa), come conseguenza del teorema di De L'Hopital.

gabriella127 ha scritto:[...] C'è un teorema che dice che una funzione (limitata) è integrabile secondo Riemann quando il suo insieme di punti di discontinuità è al più numerabile (detto in termini di teoria della misura, quando l'insieme dei punti in cui la funzione è discontinua ha misura nulla). [...]

Questo è impreciso, ci sono funzioni Riemann-integrabili discontinue su insiemi non numerabili (per esempio la funzione caratteristica dell'insieme di Cantor). Quello che ci dice Lebesgue è che una funzione \( f: [a,b] \to \mathbb{R}\) è R-integrabile se e solo se è limitata e continua quasi ovunque.

obnoxious ha scritto:Quello che ci dice Lebesgue è che una funzione \( f: [a,b] \to \mathbb{R}\) è R-integrabile se e solo se è limitata e continua quasi ovunque.

Verissimo. Si tratta, comunque, di una cosa sorprendentemente inutile. Su queste cose si insiste tanto solo per motivi didattici e tradizionali, in realtà non sono poi così rilevanti. Non c'è da distinguere tanto tra integrale di Riemann e di Lebesgue.

Per quanto riguarda $f(x)=[x]$, direi che basta ricordare che viene integrata a tratti.[/quote]
Ok,poiché possiede una discontinuità di tipo salto , come conseguenza del teorema di Darboux, la funzione non può essere la derivata di un'altra, per cui non ammette primitiva.Dunque, è sicuramente integrabile , ma non ammette primitiva.Va bene cosi'?
P.S. grazie a tutti per l'aiuto

obnoxious ha scritto:

gabriella127 ha scritto:[...] C'è un teorema che dice che una funzione (limitata) è integrabile secondo Riemann quando il suo insieme di punti di discontinuità è al più numerabile (detto in termini di teoria della misura, quando l'insieme dei punti in cui la funzione è discontinua ha misura nulla). [...]

Questo è impreciso, ci sono funzioni Riemann-integrabili discontinue su insiemi non numerabili (per esempio la funzione caratteristica dell'insieme di Cantor). Quello che ci dice Lebesgue è che una funzione \( f: [a,b] \to \mathbb{R}\) è R-integrabile se e solo se è limitata e continua quasi ovunque.

E che differenza c'è? Quando l'insieme dei punti di discontinuità ha misura nulla. Forse non avevo esplicitato tutte le ipotesi, non avevo detto specificato che era su un intervallo chiuso e limitato? (Lo davo per implicito).

Copio da Royden, Real analysis (4° edizione, p. 104):

TEOREMA (Lebesgue) Sia $f$ una funzione limitata su l'intervallo chiuso e limitato $[a,b]$. Allora è integrabile secondo Riemann su $[a,b]$ se e solo se l'insieme dei punti in $[a,b]$ in cui $f$ non è continua ha misura zero.