da gabriella127 » 17/02/2020, 16:10
Assolutamente nessuna confusione. Un insieme numerabile di punti (tipo i razionali), o finito, ha misura nulla.
Ho scritto così (ma l'ho sentito esporre anche così il teorema) perché Salvy è presumibilmente del primo anno e se gli dici 'misura nulla' o 'quasi ovunque' non capisce, perché sono cose che non ha fatto, se dico 'al più numerabile' forse si orienta. E se volesse avere informazioni più precise l'ho rimandato eventualmente a Royden, anche se è un libro avanzato per uno studente di primo anno.
Ho detto che è integrabile secondo Riemann se ha al più un insieme numerabile di punti di discontinuità, non ho detto che è condizione necessaria.
Hai ragione a dire che una funzione può essere integrabile anche se discontinua su un insieme non numerabile, purché abbia misura nulla, come nel caso dell''insieme di Cantor. Ma è un esempio 'patologico', è un 'mostro', che non ha grande utilità per una persona di primo anno che non ha fatto cose più avanzate di analisi reale.
(Questi 'mostriciattoli-controsempi' (senza offesa) sono sorti nella seconda metà dell'ottocento, quando si sentiva l'esigenza di una ulteriore rigorizzazione dell'analisi, per chiarire concetti nuovi o per dare maggiore rigore a concetti già noti).
Ultima modifica di
gabriella127 il 18/02/2020, 00:26, modificato 3 volte in totale.
Easy reading is damned hard writing. (Nathaniel Hawthorne, The Scarlet Letter)