Re: Proprietà di Darboux

Messaggioda gabriella127 » 17/02/2020, 15:40

obnoxious ha scritto:
gabriella127 ha scritto:[...] C'è un teorema che dice che una funzione (limitata) è integrabile secondo Riemann quando il suo insieme di punti di discontinuità è al più numerabile (detto in termini di teoria della misura, quando l'insieme dei punti in cui la funzione è discontinua ha misura nulla). [...]

Questo è impreciso, ci sono funzioni Riemann-integrabili discontinue su insiemi non numerabili (per esempio la funzione caratteristica dell'insieme di Cantor). Quello che ci dice Lebesgue è che una funzione \( f: [a,b] \to \mathbb{R}\) è R-integrabile se e solo se è limitata e continua quasi ovunque.


E che differenza c'è? Quando l'insieme dei punti di discontinuità ha misura nulla. Forse non avevo esplicitato tutte le ipotesi, non avevo detto specificato che era su un intervallo chiuso e limitato? (Lo davo per implicito).

Copio da Royden, Real analysis (4° edizione, p. 104):

TEOREMA (Lebesgue) Sia $f$ una funzione limitata su l'intervallo chiuso e limitato $[a,b]$. Allora è integrabile secondo Riemann su $[a,b]$ se e solo se l'insieme dei punti in $[a,b]$ in cui $f$ non è continua ha misura zero.
Ultima modifica di gabriella127 il 18/02/2020, 00:51, modificato 1 volta in totale.
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Re: Proprietà di Darboux

Messaggioda dissonance » 17/02/2020, 15:46

Perché non provi a calcolarla esplicitamente, questa "non-primitiva" di \([x]\)? Così capisci veramente cosa succede, invece di dover fare affidamento sull'opinione di gente del forum, che dimenticherai nel giro di una settimana? Chi fa da sé, fa per tre.

Devi calcolare
\[
\int_0^x [y]\, dy.\]
E' un ottimo esercizio.
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Re: Proprietà di Darboux

Messaggioda obnoxious » 17/02/2020, 16:01

gabriella127 ha scritto:[...] E che differenza c'è? Quando l'insieme dei punti di discontinuità ha misura nulla. Forse non avevo esplicitato tutte le ipotesi, non avevo detto specificato che era su un intervallo chiuso e limitato? (Lo davo per implicito).

Copio da Royden, Real analysis (4° edizione, p. 104):

TEOREMA (Lebesgue) Sia $f$ una funzione limitata su l'intervallo chiuso e limitato $[a,b]$. Allora è integrabile secondo Riemann su $[a,b]$ se e solo se l'insieme dei punti in $[a,b]$ in cui $f$ non è continua ha misura zero.


gabriella127 ha scritto:[...] C'è un teorema che dice che una funzione (limitata) è integrabile secondo Riemann quando il suo insieme di punti di discontinuità è al più numerabile (detto in termini di teoria della misura, quando l'insieme dei punti in cui la funzione è discontinua ha misura nulla). [...]

In rosso la parte a cui mi riferisco. Letto così mi sembra(va) una confusione tra cardinalità e misura.
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Re: Proprietà di Darboux

Messaggioda gabriella127 » 17/02/2020, 16:10

Assolutamente nessuna confusione. Un insieme numerabile di punti (tipo i razionali), o finito, ha misura nulla.

Ho scritto così (ma l'ho sentito esporre anche così il teorema) perché Salvy è presumibilmente del primo anno e se gli dici 'misura nulla' o 'quasi ovunque' non capisce, perché sono cose che non ha fatto, se dico 'al più numerabile' forse si orienta. E se volesse avere informazioni più precise l'ho rimandato eventualmente a Royden, anche se è un libro avanzato per uno studente di primo anno.

Ho detto che è integrabile secondo Riemann se ha al più un insieme numerabile di punti di discontinuità, non ho detto che è condizione necessaria.

Hai ragione a dire che una funzione può essere integrabile anche se discontinua su un insieme non numerabile, purché abbia misura nulla, come nel caso dell''insieme di Cantor. Ma è un esempio 'patologico', è un 'mostro', che non ha grande utilità per una persona di primo anno che non ha fatto cose più avanzate di analisi reale.
(Questi 'mostriciattoli-controsempi' (senza offesa) sono sorti nella seconda metà dell'ottocento, quando si sentiva l'esigenza di una ulteriore rigorizzazione dell'analisi, per chiarire concetti nuovi o per dare maggiore rigore a concetti già noti).
Ultima modifica di gabriella127 il 18/02/2020, 00:26, modificato 3 volte in totale.
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Re: Proprietà di Darboux

Messaggioda Salvy » 17/02/2020, 17:55

dissonance ha scritto:Perché non provi a calcolarla esplicitamente, questa "non-primitiva" di \([x]\)? Così capisci veramente cosa succede, invece di dover fare affidamento sull'opinione di gente del forum, che dimenticherai nel giro di una settimana? Chi fa da sé, fa per tre.

Devi calcolare
\[
\int_0^x [y]\, dy.\]
E' un ottimo esercizio.

Non vorrei dire una scemenza : $\int_0^x [y]\ dy=[x]^2/2$
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Re: Proprietà di Darboux

Messaggioda dissonance » 17/02/2020, 17:58

No, è sbagliato, ma fai bene a cimentarti. Pensa graficamente: la funzione \(y\mapsto [y]\) è costante a tratti, integrandola dovrai ottenere una funzione con pendenza costante a tratti...
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Re: Proprietà di Darboux

Messaggioda Salvy » 17/02/2020, 19:38

dissonance ha scritto:No, è sbagliato, ma fai bene a cimentarti. Pensa graficamente: la funzione \(y\mapsto [y]\) è costante a tratti, integrandola dovrai ottenere una funzione con pendenza costante a tratti...

Mi viene da pensare alle "funzioni" che ho studiato per l'esame di probabilità, o meglio al coefficiente binomiale
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Re: Proprietà di Darboux

Messaggioda Salvy » 18/02/2020, 14:06

dissonance ha scritto:No, è sbagliato, ma fai bene a cimentarti. Pensa graficamente: la funzione \(y\mapsto [y]\) è costante a tratti, integrandola dovrai ottenere una funzione con pendenza costante a tratti...

Non mi viene nessuna idea... Ho capito come si muove "l'area sottesa" ma non riesco a trovare una primitiva che descriva quest'ultima
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Re: Proprietà di Darboux

Messaggioda dissonance » 18/02/2020, 14:39

Ecco il risultato: sia \(u(x)=\int_0^x [y]\, dy\), allora
\[
u(x)=\begin{cases}
x, & x\in [0, 1), \\
2x-1, & x\in [1, 2), \\
3x-3, & x\in [2, 3), \\
\vdots
\end{cases}
\]
e non ci preoccupiamo di cosa succede per \(x<0\) :-). Il grafico di questa funzione è
        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico


(non so se si vede, non riesco a fare funzionare questo cavolo di asvg). Come vedi, nei punti \(x=1, x=2, x=3, \ldots\) il grafico ha un punto angoloso, e quindi in tali punti \(u\) NON è derivabile. Ecco perché non è una vera primitiva della funzione parte intera; una vera primitiva è derivabile in tutto il suo dominio e la sua derivata coincide ovunque con la funzione assegnata.
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