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Proprietà di Darboux

MessaggioInviato: 15/02/2020, 16:56
da Salvy
Salve a tutti, studiando la continuità delle funzioni, mi è venuto questo dubbio :

Consideriamo la funzione $ f(x)={ ( x^2sin(1/x) if x!= 0 ),(( 0 if x=0)):} $
La funzione $f'(x)$ , possiede una discontinuità di seconda specie ma nonostante tutto gode della proprietà dei valori intermedi .Questo significa che se una funzione possiede la proprietà dei valori intermedi, non è detto che essa sia continua .
A questo punto mi chiedo, ma $f(x)$ è integrabile?esiste una primitiva ?
Lo stesso discorso vale per la funzione parte intera : $y=[x]$, essa però possiede a differenza della prima, delle discontinuità di tipo salto dunque dovrebbe essere integrabili "alla Riemann" anche se non è possibile trovare la primitiva?

P.S.
Perché le funzioni derivate non possono avere punti di discontinuità di tipo salto ma solo di seconda e terza specie ?

Re: Proprietà di Darboux

MessaggioInviato: 16/02/2020, 10:57
da Salvy
Qualcuno può aiutarmi?

Re: Proprietà di Darboux

MessaggioInviato: 17/02/2020, 01:17
da dissonance
Stai facendo un minestrone, un sacco di domande disparate, come si fa a rispondere? Comunque, tutte le funzioni continue sono integrabili, come dovresti sapere. Quella di questo thread è una funzione continua.

Re: Proprietà di Darboux

MessaggioInviato: 17/02/2020, 01:29
da gabriella127
Ciao Salvy.
Se ho capito la tua domanda, ti stai chiedendo quando una funzione discontinua è integrabile secondo Riemann.

L'integrabilità non dipende dal tipo di discontinuità, ma dal 'numero' di punti di discontinuità.

C'è un teorema che dice che una funzione (limitata) è integrabile secondo Riemann quando il suo insieme di punti di discontinuità è al più numerabile (detto in termini di teoria della misura, quando l'insieme dei punti in cui la funzione è discontinua ha misura nulla).
E' un teorema che in genere non si fa a Analisi I e II, si fa più in là, in genere in un corso più avanzato, di solito Analisi Reale, quando si fa teoria della misura. Nel caso avessi la curiosità di vedere questo teorema puoi ad esempio guardare Royden, Real Analysis.
Per avere funzioni non integrabili secondo Riemann bisogna andare su funzioni un po' 'strane'.
L'esempio classico è la funzione di Dirichlet, che vale $1$ sui razionali e $0$ su gli irrazionali.
Ha un insieme più che numerabile di punti di discontinuità.

Sulle discontinuità della funzione derivata non so che dirti.

Re: Proprietà di Darboux

MessaggioInviato: 17/02/2020, 01:33
da gabriella127
p.s. Che è la proprietà di Darboux?

Re: Proprietà di Darboux

MessaggioInviato: 17/02/2020, 09:45
da Sergio
La proprietà di Darboux (che non conoscevo :)) è molto interessante.
Il teorema dei valori intermedi dice che se una funzione $f$ è continua su $[a,b]$, comunque scelti due punti $x_1,x_2$ in $[a,b]$ tali che $f(x_1)\ne f(x_2)$, la funzione assume su $(x_1,x_2)$ tutti i valori compresi tra $f(x_1)$ e $f(x_2)$.
Il teorema di Darboux dice che se $f$ è continua su $[a,b]$ e differenziabile su $(a,b)$, la sua derivata $f'(x)$ conserva la proprietà dei valori intermedi -- cioè per ogni $t$ compreso tra $f'(x_1)$ e $f'(x_2)$ esiste qualche $x_3$ in $(x_1,x_2)$ tale che $f'(x_3)=t$ -- anche se è discontinua. In altri termini, anche per $f'(x)$ l'immagine di un intervallo è un intervallo, anche se è discontinua.
Mi sembra proprio questo il motivo per cui una derivata non può avere discontinuità di salto, ma non può avere nemmeno una discontinuità eliminabile (il punto in cui fosse discontinua potrebbe essere "fuori intervallo"). Può presentare solo una discontinuità di seconda specie: un limite destro o sinistro non esiste finito.

Per quanto riguarda $f(x)=[x]$, direi che basta ricordare che viene integrata a tratti.

Re: Proprietà di Darboux

MessaggioInviato: 17/02/2020, 11:37
da Reyzet
Le derivate comunque possono avere discontinuità solo di terza specie (ovvero per cui non esistono i limiti destro o sinistro), e di nessun altro tipo (eliminabile, salto o seconda specie, anche se qua dipende un po' dalla terminologia che si usa), come conseguenza del teorema di De L'Hopital.

Re: Proprietà di Darboux

MessaggioInviato: 17/02/2020, 14:39
da obnoxious
gabriella127 ha scritto:[...] C'è un teorema che dice che una funzione (limitata) è integrabile secondo Riemann quando il suo insieme di punti di discontinuità è al più numerabile (detto in termini di teoria della misura, quando l'insieme dei punti in cui la funzione è discontinua ha misura nulla). [...]

Questo è impreciso, ci sono funzioni Riemann-integrabili discontinue su insiemi non numerabili (per esempio la funzione caratteristica dell'insieme di Cantor). Quello che ci dice Lebesgue è che una funzione \( f: [a,b] \to \mathbb{R}\) è R-integrabile se e solo se è limitata e continua quasi ovunque.

Re: Proprietà di Darboux

MessaggioInviato: 17/02/2020, 15:22
da dissonance
obnoxious ha scritto:Quello che ci dice Lebesgue è che una funzione \( f: [a,b] \to \mathbb{R}\) è R-integrabile se e solo se è limitata e continua quasi ovunque.

Verissimo. Si tratta, comunque, di una cosa sorprendentemente inutile. Su queste cose si insiste tanto solo per motivi didattici e tradizionali, in realtà non sono poi così rilevanti. Non c'è da distinguere tanto tra integrale di Riemann e di Lebesgue.

Re: Proprietà di Darboux

MessaggioInviato: 17/02/2020, 15:38
da Salvy
Per quanto riguarda $f(x)=[x]$, direi che basta ricordare che viene integrata a tratti.[/quote]
Ok,poiché possiede una discontinuità di tipo salto , come conseguenza del teorema di Darboux, la funzione non può essere la derivata di un'altra, per cui non ammette primitiva.Dunque, è sicuramente integrabile , ma non ammette primitiva.Va bene cosi'?
P.S. grazie a tutti per l'aiuto