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Ciao a tutti,
ho di fronte queste domande chiuse sulla convergenza di successioni di funzioni che implicano anche l'utilizzo dei concetti di misura e integrale di Lebesgue.
1. La successione di funzioni non-negative $f_n: RR\ to RR$ definite per $n>0$ da $f_n (x)= n chi_ (0,1/n)$
(a) converge puntualmente alla funzione nulla, ovunque in $RR$
(b) converge puntualmente alla funzione nulla, ovunque in $RR$ tranne un insieme di misura nulla e non vuoto.
(c) è una successione monotona $f_n<=f_(n+1)$ e quindi per il teorema della convergenza monotona ha limite
puntuale $f=lim_{n \to \infty}$ tale che $lim_{n \to \infty}= int_(RR)f_n (x)dx= int_(RR)f(x)dx$.
(d) è una successione monotona $f_n<=f_(n+1)$, e che non soddisfa le ipotesi del teorema della convergenza
monotona, dato che $f_n$ converge puntualmente a $0$ in $RR$ ma $lim_{n \to \infty}= int_(RR)f_n (x)dx=1$.
Scartata (d) mi sembra che sia la (a) sia la (c) siano corrette, mentre non capisco la condizione quasi ovunque dell'opzione (b).

2.Se le funzioni $a_n (x)>=0$ sono una successione di funzioni non-negative, limitate, definite in $[0,1] sub RR$ e integrabili secondo Lebesgue, e la serie $\sum_{n=1}^\infty\ a_n (x)$ converge puntualmente ad una funzione $A(x): [0,1] sub RR uu(+infty)$, allora:
(a) La funzione $A(x)$ è misurabile e $\sum_{n=1}^\infty\ int_0^1 a_n (x)= int_0^1 A(x)dx$
(b) La funzione $A(x)$ è misurabile ma non è detto che $\sum_{n=1}^\infty\ int_0^1 a_n (x)= int_0^1 A(x)dx$.
(c) La funzione $A(x)$ è misurabile e ha integrale sempre finito tale che $\sum_{n=1}^\infty\ int_0^1 a_n (x)= int_0^1 A(x)dx$.
(d) La funzione $A(x)$ è misurabile e ha integrale sempre finito, ma non è detto che $\sum_{n=1}^\infty\ int_0^1 a_n (x)= int_0^1 A(x)dx$.

Qui mi perdo completamente, non riesco a capire neanche a che teorema attaccarmi....

Qualcuno ha qualche suggerimento chiarificatore?
Grazie.

Vedo che le difficoltà non sono solo e mie.....

Per quanto riguarda la prima domanda, la risposta corretta è senz'altro la b). Insomma, la successione converge puntualmente alla funzione nulla ovunque in $RR$ eccetto che per $x=0$, dove diverge positivamente. Tra l'altro, quella successione è una delle classiche successioni che convergono alla $\delta$ di Dirac in senso distribuzionale.

le difficoltà non sono solo le mie

Specialmente se il testo non è ben scritto. Per la 2, non ha nessun senso; quella serie non può convergere a una funzione, perché non dipende da \(x\), la \(x\) è stata integrata.

Grazie per la giusta osservazione, però è quanto presente sulle dispense da cui ho tratto l'esercizio: evidentemente non mi sono accorto dell'errore all'origine.
Quindi, detto che l'argomento della serie non è una costante, allora credo valga l'opzione 1) come conseguenza del T. di Beppo Levi. Concordi?

No, non concordo su niente. Stiamo parlando dell'aria fritta, il testo è scritto male e non ha senso. Per prima cosa vai a controllare e riscrivi correttamente il testo e poi ne possiamo riparlare.

Riscritta correttamente nel messaggio iniziale.

Va un po' meglio. Beppo Levi è utile. Devi decidere tra a) e c).

Forse ho capito: Beppo Levi mi dice che è vero che $\sum_{n=1}^\infty\ int_0^1 a_n (x)= int_0^1 A(x)dx$, mentre il fatto che $a_n(x)$ sia successione di funzioni limitate mi dice che l'integrale ha valore finito, quindi c). È corretto?