SERIE CON PARAMETRO

[diego78]

salve, avrei bisogno della risoluzione di una serie
Sia alfa appartenenete a R. Discutere la convergenza della serie
(7/n − log(n + 7/n))^(α−3)

[Zero87]

Benvenuto al forum e buona permanenza, Diego, per le prossime volte posso dirti di fare attenzione alla sezione dove posti il messaggio. Ma ora, con i poteri a me conferiti, sposto la discussione nella sezione di analisi (io al liceo le serie non le facevo).
PS: evita anche il titolo in maiuscolo, io ora non posso più modificarlo perché ho già spostato il messaggio.

Buon fine settimana!

[Mephlip]

Ciao, benvenuto sul forum.

avrei bisogno della risoluzione di una serie

Questo no, riceverai suggerimenti ed aiuto una volta che avrai esposto i tuoi dubbi ed i tuoi tentativi di risoluzione.
Detto questo, ti volevo chiedere:

(7/n − log(n + 7/n))^(α−3)

Sicuro che ci sia quella $n$ dentro all'argomento del logaritmo?
Non è che magari è
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{7}{n}-\ln\left(1+\frac{7}{n}\right)\right)^{\alpha-3}$$?

[diego78]

salve, si. c'è la n dentro log((n+7)/n) io volevo applicare lo sviluppo di taylor e poi non saprei che fare

[Mephlip]

diego78, sono i tuoi primi messaggi e quindi qualche errore è comprensibile, ma nel tuo ultimo messaggio hai scritto qualcosa di diverso rispetto al primo: attenzione che n+7/n in formule diventa $n+\frac{7}{n}$ mentre (n+7)/n in formule diventa $\frac{n+7}{n}$; perciò ti chiedo di fare attenzione quando riporti un esercizio, o rischi di far perdere tempo a chi ti legge
Quindi la serie da studiare è
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{7}{n}-\ln\left(\frac{n+7}{n}\right)\right)^{\alpha-3}$$
Prova a scrivere $\frac{n+7}{n}=\frac{n}{n}+\frac{7}{n}=1+\frac{7}{n}$ e ad utilizzare lo sviluppo di Taylor del logaritmo.

[pilloeffe]

Ciao diego78,

Benvenuto sul forum!

volevo applicare lo sviluppo di taylor

L'idea non mi sembra malvagia, perché non la porti avanti?
Per inciso osserverei che la serie proposta è a termini positivi in quanto $\AA x > 0 $ si ha:

$log(1 + x) < x \implies x - log(1 + x) > 0 $

Nel caso in esame $x := 7/n > 0 $

[Bokonon]

Poi magari risolvilo anche usando il confronto con la serie armonica generalizzata dopo aver dedotto quali sono le due casistiche rilevanti.