pilloeffe ha scritto:In realtà però mi sono reso conto di non averti risposto, nel senso che non ti ho mostrato come si giunge a questa identità.
Nessun problema, in realtà mi sono fatto intimidire quando era abbastanza semplice! Diciamo che l'unico passaggio che non sono sicuro di aver afferrato appieno è la comparsa della parte intera $\floor{\frac{n}{2}}$ nell'indice superiore della somma, nel senso che: intuitivamente mi è chiaro, ovviamente se stiamo sommando $n$ termini e ci restringiamo ai pari ponendo $h=2k$ i termini da sommare sono la metà, ma dovendo essere l'indice superiore di somma un numero naturale dobbiamo "aggiustarlo" in modo tale che quando la frazione $\frac{n}{2}$ ha numeratore dispari otteniamo nuovamente un intero.
Per fare ciò usiamo la parte intera, perché i pari li restituisce come sono (infatti $\floor{\frac{2k}{2}}=\floor{k}=k$ in quanto $k\in\mathbb{N}$) mentre i dispari li scala al numero pari precedente.
Però perché il precedente? Nel senso, perché usiamo $\floor{\cdot}$ e non $\ceil{\cdot}$?
La spiegazione che mi viene in mente è che in effetti se, per esempio, $n=9$, i numeri pari fino a $9$ sono $\floor{\frac{9}{2}}=4$, se invece usassi $\ceil{\cdot}$ otterrei un termine in più nella somma che non c'è; chiaramente ciò avviene per ogni $n\in\mathbb{N}$ (almeno a livello intuitivo, dovrei dimostrarlo) e quindi usiamo $\floor{\frac{n}{2}}$.
Ha senso? Forse in realtà sto complicando enormemente le cose ed è più semplice, in ogni caso grazie!
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.