Sommabilità con logaritmo

[Ianya]

Buon pomeriggio
Devo dimostrare la sommabilità di $f(x) = logx/(x^n-1), AA n>1$ su $(0, +∞) $

Il logaritmo non crea problemi per la sommabilità poiché si controlla con $x^α, AA α>0$
Penso di dover spezzare l'intervallo $(0,+∞) = (0,1[ U [1, +∞)$ e di dover ragionare separatamente in questi intervalli, maggiorando la mia funzione con una funzione sommabile
Giusto? Come dovrei proseguire?
Grazie in anticipo

[dissonance]

Certo che è giusto. Continua a lavorare un po'. Cosa succede su \((0, 1)\)? Nota che potrebbe esserci una singolarità per \(x=1\), ma il logaritmo al numeratore si annulla. Sviluppa secondo Taylor per capire chi vince.

[Ianya]

Certo che è giusto. Continua a lavorare un po'. Cosa succede su \((0, 1)\)? Nota che potrebbe esserci una singolarità per \(x=1\), ma il logaritmo al numeratore si annulla. Sviluppa secondo Taylor per capire chi vince.

1 è una singolarità eliminabile
Poiché $x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+... +1)$, con un paio di passaggi arrivo a $logx/(x^n-1) > logx/(x^(n+1)-1)$ per cui $logx/(x^n-1)<logx/(x^2-1)$ e $logx/(x^2-1)<x^α/(x^2-1)$
Ora come posso continuare?
Posso scrivere $logx/(x^2-1)<x^(1/2)/(x^2)=1/x^(3/2) $ sommabile? O devo considerare due casi in quei due intervalli?

[dissonance]

1 è una singolarità eliminabile

Se questa cosa che dici è vera, non ci sarebbe più niente da fare in un intorno di \(1\).

Poiché $x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+... +1)$

Vero. Bene.

, con un paio di passaggi arrivo a $logx/(x^n-1) > logx/(x^(n+1)-1)$ per cui $logx/(x^n-1)<logx/(x^2-1)$ e $logx/(x^2-1)<x^α/(x^2-1)$

Da qui in poi è da buttare. Intanto, \(\log x\) è negativo in \((0, 1)\), quindi quella disuguaglianza non capisco da dove esca. Ma comunque è completamente inutile. Non avevi detto che la singolarità è eliminabile? Quella è la cosa da dimostrare.

[Ianya]

Quindi, ricapitolando
La funzione $f(x) = logx/(x^n-1)$ è sommabile su $(0,+∞) $ perché maggiorata dalla funzione $f_2(x)=logx/(x^2-1)$ che è sommabile perché
$1$ è una singolarità eliminabile e
$logx/(x^2-1) < x^α/(x^2-1)$ e $x^α/(x^2-1)$ è sommabile intorno a $+infty$ poiché è $O(x^(-2+α))$ per $x-> +∞ $
Va bene così?

[Raptorista]

Moderatore: Raptorista

Sposto da Analisi superiore.

[dissonance]

Non capisco cosa stai facendo. Hai detto che la singolarità in \(1\) di \(f\) è eliminabile. Bene. È vero. Ora ti basta dimostrarlo. Se non sai come fare (ma lo sai, altrimenti perché lo avresti scritto?), scrivi
\[
\log(x)=\log(1+(x-1)), \]
e sviluppa.

[Ianya]

Quindi, ricapitolando
La funzione $f(x) = logx/(x^n-1)$ è sommabile su $(0,+∞) $ perché maggiorata dalla funzione $f_2(x)=logx/(x^2-1)$ che è sommabile perché
$1$ è una singolarità eliminabile e
$logx/(x^2-1) < x^α/(x^2-1)$ e $x^α/(x^2-1)$ è sommabile intorno a $+infty$ poiché è $O(x^(-2+α))$ per $x-> +∞ $
Va bene così?

O basta dire che la funzione è sommabile perché 1 è una singolarità eliminabile ed è sommabile intorno +∞ perché maggiorata da $x^α/(x^n-2)$ che è sommabile intorno a +∞ in quanto $O(x^(-n+α)) $?

[dissonance]

Buh, io mi sono perso. Questo fatto che la singolarità è eliminabile, lo hai dimostrato? Questo risolve il problema in un intorno di \(1\). All'infinito, va bene una maggiorazione del tipo che hai fatto tu. Fai attenzione, DEVI dividere l'integrale in due addendi, perché il logaritmo è positivo solo a destra di \(1\). Per favore rifletti bene prima di tornare a postare, grazie.

[Ianya]

Questo fatto che la singolarità è eliminabile, lo hai dimostrato? Questo risolve il problema in un intorno di \(1\).

Si


Ed ho anche considerato il segno del logaritmo in entrambi gli intervalli

I miei dubbi erano solo riguardo la sommabilità all'infinito