Buonasera a tutti, mi sto confrontando con un problema che mi richiede di calcolare la lunghezza dell'arco di parabola di $y=x^2$ per $x in[0,1]$.
La parametrizzazione più naturale mi è sembrata
$\vec\gamma(t) = (t,t^2) ; t in [0,1]$
$\vec\gamma'(t) = (1,2t)$
$||\vec\gamma(t)|| = sqrt(1+4t^2)$
$L(\vec\gamma) = int_0^1sqrt(1+4t^2)dt$
Come potrei approcciare questo integrale? Oppure mi conviene ricercare una parametrizzazione che mi porti ad un integrale più semplice?
EDIT:
Deve venire $sqrt(5)/2+(ln(sqrt(5)+2))/4 = 1/4(2sqrt(5)+sinh^-1(2)) = 1.4789...$
Dal risultato immagino che ci sia da fare una sostituzione fantasiosa, quindi sono perfettamente consapevole che non sia il massimo alle 7 di lunedì sera! Per questo motivo ringraziamento doppio a chiunque mi voglia aiutare.