Calcolo dei limiti di successione

[universo]

Scrivo perché ho difficoltà a comprendere l'algebra dei limiti non finiti. Leggo sul mio eserciziario, ossia "Esercizi e complementi di analisi matematica " volume primo di E.Giusti, che per il calcolo dei limiti non esiste nessun procedimento esatto: si formula una congettura e si procede eventualmente a dimostrarla. Questo mi crea qualche difficoltà perché non ho idea di come procedere, andando a tentoni. Delle volte seguo pedissequamente le regole (teoremini) mostrate sul libro di teoria ma spesso non tornano i conti, soprattutto con le formule di indecisione. Altre volte svolgo gli esercizi intuitivamente ottenendo risultati corretti qua e là. Concettualmente l'argomento è semplice, ma all'atto pratico (che è quel che conta per lo scritto) non sto concludendo niente.
Faccio un esempio:
$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^6 - (n-1)^6}{(n+1)^5 + (n-1)^5}$

Il risultato corretto è 6, ma a me viene perché elimino i vari termini noti poco significativi (-1 e + 1) e svolgo i calcoli normalmente, quindi al numeratore viene 0 da cui il limite che è uguale a 0.
Voi che metodo usate?

[axpgn]

Mah, qui mi pare che basti un po' di algebra "normale" ...

Se sviluppi i primi termini del numeratore, noterai che i due termini alla sesta si elidono mentre quelli alla quinta si sommano perciò si ottiene $6n^5-(-6n^5)=12n^5$, il resto non conta (all'infinito).
Al denominatore si somma tutto quindi avrai $2n^5$ ed il resto non conta.
In conclusione si ha $(12n^5)/(2n^5)=6$

[universo]

Ti ringrazio per la risposta. Volevo però sapere in generale come vi comportate per calcolare i limiti delle successioni, se semplificate tutto quanto in partenza, se procedete direttamente con l'algebra dei limiti etc etc. A volte semplifica i termini e mi viene fuori un risultato, applico direttamente i teoremi alla successione e ottengo un altro risultato, spesso nessuno dei due è quello corretto (tra l'altro Wolfram Alpha ne dà un altro ancora rispetto al libro). Cercavo più che altro delle linee guida da seguire.

[axpgn]

Le linee guida da seguire sono quelle che stanno sui libri e quelle del tuo prof
Comunque l'errore sopra è un classico
Se è vero che in un polinomio all'infinito quello che conta è il termine col maggior esponente, in questo caso al numeratore così facendo ti riduci ad una forma indeterminata ($+infty-infty$) e allora non puoi concludere niente, devi andarci più "di fino" che è quello che ho fatto …

[pilloeffe]

Ciao universo,

Cercavo più che altro delle linee guida da seguire.

Beh, la linea da seguire può essere più di una, dipende anche dal tipo di limite: per esempio, fermo restando che la soluzione che ti ha proposto Alex pare anche a me la più comoda e rapida, se proprio non ti piace potresti sempre risolvere il limite proposto facendo uso del binomio di Newton e raccogliendo poi la potenza più elevata ($n^5$) sia al numeratore che al denominatore, ottenendo ovviamente lo stesso risultato.

spesso nessuno dei due è quello corretto

Questo invece mi pare piuttosto strano, perché anche se ci possono essere più metodi per risolvere uno stesso limite, ovviamente i risultati devono coincidere (come di certo saprai il limite, se esiste, è unico), purché ovviamente i metodi seguiti siano corretti.

tra l'altro Wolfram Alpha ne dà un altro ancora rispetto al libro

Attenzione perché WolframAlpha lavora nei complessi, quindi non prendere per oro colato ciò che ti scrive WolframAlpha: va interpretato correttamente. Peraltro nel caso specifico del limite proposto WolframAlpha fornisce lo stesso risultato che ti ha già scritto Alex.

[universo]

Ho rivisto la teoria e ho provato a fare una ventina di limiti per tirare le somme: il 40% dei limiti calcolati è errato. Ci sto perdendo veramente troppo tempo su questi limiti. Provo a riportare lo svolgimento di alcuni esercizi errati per vedere se riuscite ad aiutarmi ad individuare gli errori più frequenti:
27) $ \lim_{n \to +\infty } \frac{n^2 + 1 }{2^n + 5^n} = \lim_{n \to +\infty } \frac{n^2 }{5^n}$
Applico il criterio del rapporto: $ \lim_{n \to +\infty } \frac{(n+1)^2 }{ 5^(n+1)} \dot \frac{5^n}{n^2} = \lim_{n \to +\infty } \frac{n^2+2n +1 }{ 5} \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to +\infty } \frac{1 }{ 5} \dot \frac{n^2+2n + 1}{n^2} = \frac{1}{5}$. Il limite appena calcolato è compreso tra 0 e 1 per cui $ \lim_{n \to +\infty } \frac{n^2 + 1 }{2^n + 5^n} = 0+$. Questo esercizio l'ho corretto autonomamente in corsa mentre scrivevo il presente messaggio essendomi accorto di aver scambiato $a_{n+1}$ con $a_{n}$ e quindi di aver calcolato il limite di $\frac{a_{n}}{a_{n+1}}$ ottenendo $5$ anziché $\frac{1}{5}$ da cui il risultato sbagliato (ossia $+\infty$). Ho notato di aver commesso lo stesso errore almeno un'altra volta.

30) $\lim_{n \to \infty} n(\sqrt{1+ \frac{2}{n^2}}- \sqrt{1-\frac{4}{n}}) = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + 2 } - \sqrt{n^2 -4n} = \lim_{n \to \infty} n - n^2(1 - \frac{4}{n^3}) = -\infty$

31) $\lim_{n \to \infty} (2^n + 3^n)^(\frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} 3^(\frac{n}{n}) = 3$ ma sono stato influenzato dall'aver visto la soluzione del libro. Avevo anche provato così $\lim_{n \to \infty} (2^n + 3^n)^(\frac{1}{n}) = 1 $ perché $\frac{1}{n}$ tende a 0.

33) $\lim_{n \to \infty } n(\sqrt{n^2 + n} - n) = \lim_{n \to \infty} n( \sqrt{n^2 (1+ \frac{1}{n})} - n) = \lim_{n \to \infty} n( \sqrt{n^2} - n) = \lim_{n \to \infty} n( n - n) = 0$

36) $\lim_{n \to \infty} \frac{\log_{e}(1 + n + n^3) - 3\log_{e}(n)}{n(1 - cos(\frac{1}{n^2}))} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log_{e}(1 + n + n^3) - \log_{e}(n^3)}{n(1 - cos(\frac{1}{n^2}))} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log_{e}(n^3) - \log_{e}(n^3)}{n(1 - cos(\frac{1}{n^2}))} = 0$
e al denominatore si ha
$\lim_{n \to \infty} n(1- cos(0)) = 0$.

[pilloeffe]

Vedo parecchi errori...
Brevemente:

27) $\lim_{n \to +\infty}\frac{n^2 + 1 }{2^n + 5^n} = \lim_{n \to +\infty}\frac{n^2 }{5^n} = 0 $

Corretto. Basta ricordarsi che gli esponenziali "vincono sempre" sui polinomi, non c'è bisogno di fare tutto ciò che hai fatto dopo.

30) Errato.
Si ha:

$\lim_{n \to +\infty} n(\sqrt{1+ \frac{2}{n^2}}- \sqrt{1-\frac{4}{n}}) = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2 + 2 } - \sqrt{n^2 - 4n} = $
$ = \lim_{n \to +\infty} ((\sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 -4n})(\sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 -4n}))/(\sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 - 4n}) = $
$ = \lim_{n \to +\infty} (n^2 + 2 - n^2 + 4n)/(\sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 - 4n}) = 2 \cdot \lim_{n \to +\infty} (2n + 1)/(\sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 - 4n}) = $
$ = 2 \cdot \lim_{n \to +\infty} (2 + 1/n)/(\sqrt{1 + 2/n^2 } + \sqrt{1 - 4/n}) = 2 \cdot \frac{2}{sqrt1 + sqrt1} = 2 $

31) Corretto. Fra $2^n$ e $3^n$ "vince" quest'ultimo, pertanto il risultato del limite proposto è $3$.
33) Errato.
Si ha:

$ \lim_{n \to +\infty} n(\sqrt{n^2 + n} - n) = \lim_{n \to +\infty } (n(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n))/(\sqrt{n^2 + n} + n) = $
$ = \lim_{n \to +\infty} (n^2)/(\sqrt{n^2 + n} + n) = \lim_{n \to +\infty} n/(\sqrt{1 + 1/n} + 1/n) = +\infty $

36) Errato.
Si ha:

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{ln(1 + n + n^3) - 3 ln(n)}{n(1 - cos(\frac{1}{n^2}))} = \lim_{n \to +\infty} \frac{ln(1 + n + n^3) - ln(n^3)}{n(1 - cos(\frac{1}{n^2}))} = $
$ = \lim_{n \to +\infty} \frac{ln(1 + (1 + n)/n^3)}{n(1 - cos(\frac{1}{n^2}))} = \lim_{n \to +\infty} \frac{ln(1 + (1 + n)/n^3)}{(1 + n)/n^3} \cdot \frac{(1 + n)/n^3}{n(1 - cos(\frac{1}{n^2}))} = $
$ = \lim_{n \to +\infty} \frac{ln(1 + (1 + n)/n^3)}{(1 + n)/n^3} \cdot \frac{1 + n}{(1 - cos(\frac{1}{n^2}))/(1/n^2)^2} = +\infty $

[universo]

Non riesco a risolvere questo semplice limite
$(n -\sqrt{n})((1 + \frac{2}{n})^\frac{1}{3} - 1)$

[Mephlip]

Se possibile, dalla prossima volta apri nuovi thread per nuovi esercizi
Comunque cosa hai provato?

[pilloeffe]

Non riesco a risolvere questo semplice limite
$ (n -\sqrt{n})((1 + \frac{2}{n})^\frac{1}{3} - 1) $

Quale limite?

Se possibile, dalla prossima volta apri nuovi thread per nuovi esercizi

Concordo con Mephlip, anche considerando che questo thread di limiti ne contiene già parecchi...

Comunque, supponendo che tu abbia omesso di scrivere che $n \to +\infty $, si può risolvere in almeno due modi diversi: razionalizzando al contrario facendo uso della relazione $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ con $a := (1 + \frac{2}{n})^{\frac{1}{3}}$ e $ b := 1^{\frac{1}{3}}$ oppure anche più semplicemente facendo uso del limite notevole

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a $

con $x = x(n) = 2/n $ e $a = 1/3 $

Alla fine dovresti comunque riuscire ad ottenere il risultato:

$\lim_{n \to +\infty}(n -\sqrt{n})[(1 + \frac{2}{n})^\frac{1}{3} - 1] = 2/3 $