esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda Aletzunny » 24/03/2020, 17:20

studiare nell' origine e al variare di $a>0$ la continuità, le derivate parziali e la differenziabilità della funzione:
$f(x,y)={((exp(|xy|^a)-1)/(sqrt(x^2+y^2)),if (x,y)!=0),(0,if (x,y)=0):}$

provo a riportare la mia risoluzione incompleta (ho ipotizzato che $exp(|xy|^a)=e^(|xy|^a)$) e dove ho qualche dubbio:

$text{Continuità}$ in $(x,y)->(0,0)$
il primo dubbio che ho è la validità dell'asintotico anche con 2 variabili. Supponendolo vero (non ho trovato quasi nulla a riguardo) ho reso:

$f(x,y)~(|xy|^a)/sqrt(x^2+y^2)$ da cui passando alle coordinate polari ottengo
$f(x,y)~((rho)^2*|cos(theta)sin(theta)|^a)/sqrt((rho)^2(cos(theta)^2+ sin(theta)^2))$ $=rho*|cos(theta)*sin(theta)|^a$ e dunque facendo il $lim_(rho->0^+) rho*|cos(theta)*sin(theta)|^a=0$
e dunque $f$ è continua in $(0,0)$ $AA a>0$. E' corretto?

$text{derivate parziali}$ :

$(d_f/d_x)(0,0)=lim_(t->0)[f(t,0)-f(0,0)]/t=(e^(t*0)-1)/(|t|*t)=0$ $AA a>0$

$(d_f/d_y)(0,0)=lim_(t->0)[f(0,t)-f(0,0)]/t=(e^(0*t)-1)/(|t|*t)=0$ $AA a>0$
E' corretto?

$text{differenziabilità}$
$lim((x,y)->(0,0))(e^(|xy|^a)-1)/(sqrt(x^2+y^2))*(1/sqrt(x^2+y^2))$ $=(e^(|xy|^a)-1)/(x^2+y^2)$

ora però non riesco a capire come terminare questo limite.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
Aletzunny
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 902 di 1042
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda gugo82 » 24/03/2020, 17:35

-.-" E che fine ha fatto $a$ nel limite della continuità?

Per l'ultimo limite: la stessa tecnica che hai usato sopra...
Did you exchange
A walk on part in the war
For a lead role in a cage? (Roger Waters)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23520 di 24246
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda Aletzunny » 24/03/2020, 18:04

gugo82 ha scritto:-.-" E che fine ha fatto $a$ nel limite della continuità?

Per l'ultimo limite: la stessa tecnica che hai usato sopra...


non ho capito la tua domanda sulla continuità: nel senso arrivo ad ottenere $rho*|sin(theta)cos(theta)|^a$ e dunque non tende a $0$ indipendentemente da $a$?

l'ultima parte non ho capito come farla: usando le coordinate polari ottengo solo $lim_(rho->0^+)|sin(theta)cos(theta)|^a$
Aletzunny
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 903 di 1042
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda gugo82 » 24/03/2020, 18:06

Aletzunny ha scritto:
gugo82 ha scritto:-.-" E che fine ha fatto $a$ nel limite della continuità?

Per l'ultimo limite: la stessa tecnica che hai usato sopra...


non ho capito la tua domanda sulla continuità: nel senso arrivo ad ottenere $rho*|sin(theta)cos(theta)|^a$ e dunque non tende a $0$ indipendentemente da $a$?

Ma controlla i conti, invece di postare...

Aletzunny ha scritto:l'ultima parte non ho capito come farla: usando le coordinate polari ottengo solo $lim_(rho->0^+)|sin(theta)cos(theta)|^a$

E ti pare poco?
Did you exchange
A walk on part in the war
For a lead role in a cage? (Roger Waters)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23523 di 24246
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda Aletzunny » 24/03/2020, 18:12

gugo82 ha scritto:
Aletzunny ha scritto:
gugo82 ha scritto:-.-" E che fine ha fatto $a$ nel limite della continuità?

Per l'ultimo limite: la stessa tecnica che hai usato sopra...


non ho capito la tua domanda sulla continuità: nel senso arrivo ad ottenere $rho*|sin(theta)cos(theta)|^a$ e dunque non tende a $0$ indipendentemente da $a$?

Ma controlla i conti, invece di postare...

Aletzunny ha scritto:l'ultima parte non ho capito come farla: usando le coordinate polari ottengo solo $lim_(rho->0^+)|sin(theta)cos(theta)|^a$

E ti pare poco?


alla prima affermazione hai perfettamente ragione perchè sarebbe
$lim_(rho->0^+) (rho)^(2a-1)*|sin(theta)cos(theta)|^a$ che tende a zero solo se $a>1/2$

per la seconda affermazione invece non sto capendo: nel senso ho dimostrato che non tende a zero uniformemente per qualsiasi $theta$ ma ciò mi basta per dire che non è differenziabile? ho qui qualche dubbio
Aletzunny
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 905 di 1042
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda gugo82 » 24/03/2020, 18:20

Ora Ok.

Per la seconda, è evidente che se il limite non viene zero "uniformemente" rispetto a $\theta$, la tua funzione non può essere differenziabile.
Ultima modifica di gugo82 il 24/03/2020, 18:21, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Vista la correzione nei calcoli postati...
Did you exchange
A walk on part in the war
For a lead role in a cage? (Roger Waters)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23524 di 24246
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda Aletzunny » 24/03/2020, 18:30

per la seconda perfetto, in effetti ha senso.

nella seconda non trovo l'errore, quindi provo a scrivere tutti i passaggi.

$|rho*cos(theta)*rho*sin(theta)|^a/sqrt(rho^2*cos(theta)^2+rho^2*sin(theta)^2$

$rho->o^+$ quindi è positivo:
$rho^(2a)*|cos(theta)*sin(theta)|^a/sqrt(rho^2(cos(theta)^2+sin(theta))^2$

$rho^(2a)*|cos(theta)*sin(theta)|^a/(rho*sqrt(1)$

$rho^(2a-1)*|cos(theta)*sin(theta)|^a$
Aletzunny
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 906 di 1042
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda Aletzunny » 24/03/2020, 18:31

niente ho visto dopo la modifica!
Aletzunny
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 907 di 1042
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda Aletzunny » 24/03/2020, 18:36

rivedendo i calcoli allora la $text{differenziabilità}$ viene

$lim_(rho->0^+) (rho)^(2a-2)|cos(theta)sin(theta)|$ $=0$ se $a>1$

corretto?
Aletzunny
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 908 di 1042
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda gugo82 » 24/03/2020, 18:54

Ad occhio direi di sì, cioè per $a>1$ la tua $f$ è differenziabile in $(0,0)$.
Cosa succede per $1/2 < a <= 1$?

E cosa succede negli altri punti del piano?
Did you exchange
A walk on part in the war
For a lead role in a cage? (Roger Waters)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23525 di 24246
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Prossimo

Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 36 ospiti