Limite due variabili all'infinito (teoria)

[lozaio]

Ciao,

mi piacerebbe esporvi un dubbio riguardo il limite a due variabili tendente all'infinito.

Il punto cruciale che mi porta a ldubbio è il fato che se ho la notazione $lim_((x,y)->oo)x*y$ questo vuol dire che trovo la famosa $||x||>k$ dove si è fissato il k(epsilon)>0 usandolacomune notazione.
A parole, in pratica, deve eseistere un valore del modulo di x, dove x si intende il vettore di componenti (x,y) che risulta maggiore di k ecc ecc...

Il punto dubbio è questo: in pratica a me non interessa come tende a infinito (cioè attraverso quale direzione) basta che esca dal cerchio di raggio k il punto. Però se io avessi una situazione del genere: $lim_((x,y)->oo)x*y$ però il tutto tende a infinito in questo modo: $lim_(x->0,y->oo)x*y$ cioè tende a infinito avvicinandosi a zero e sull'asse delle ordinate, non dovrei avere una forma indeterminata: $0*oo$?

Non riesco a districarmi da questo dubbio.
Vi ringrazio molto

[lozaio]

Se non sono stato chiaro ditemelo che provo a riesporre il dubbio
Nel caso mi scuso!

[Cantor99]

Ciao, credo che il punto della situazione sia fornire una definizione di
\[
\lim_{x\to0, y\to +\infty}xy
\]
Io sinceramente non la conosco (anche perché non so come si generalizza il concetto di limite in spazi topologici/spazi metrici).

[lozaio]

Innanzitutto grazie per la risposta, ti andrebbe di chiarirmi meglio la cosa?

Perché la mia idea era, scrivere $lim_((x,y)->+oo) xy$ (1) è in generale che: il modulo di quel valore vettoriale èsempre maggiore di un certo k fissato a prori discendente dalla epsilon. Come scrivevo nel primo post.
In che modo però (x,y) tende a infinito?Beh potrebbe tenderci per via della x che cresce e e y anche limitata, o viceversa... uno dei tanti casi portebbe essere che y vada a infinito e x tenda a zero. Non ho capito, quindi, perché dici che ha bisogno di una generalizzazione. Non rientra proprio in uno dei tanti casi di (1)?

Scusail mio essere ottuso, e grazie per la tua mano.

Ovviamente chiunque abbia voglia di intervenire è ben'accetto, dato che non riescoa capirlo da solo!
Grazie a tutti.

[gugo82]

Il $lim_((x,y) -> +oo) xy$ non esiste... Quindi non capisco il problema.

[lozaio]

Il $lim_((x,y) -> +oo) xy$ non esiste... Quindi non capisco il problema.

Esatto non esiste e mi accorgo passando a restrizioni sul dominio, quello mi è abbastanza chiaro. Tuttavia non capisco perché non possa pensare a quel limite solo come un tipo di limite ove y corre a infinito e x a zero. Ecco in quelcaso mi sembra di ridurmi a un caso specifico tra i tanti e mi troverei con $0*oo$. In realtà non so se ho ben speigato il dubbio, forse sopra ero stato più chiaro.

Il punto dubbio è questo: in pratica nei limiti a due variabili a me non interessa come tende a infinito (cioè attraverso quale direzione) basta che esca dal cerchio di raggio k il punto. Però mi pondo la domanda: se io avessi una situazione del genere: $lim_((x,y)->oo)x*y$ però il tutto tende a infinito in questo modo: $lim_(x->0,y->oo)x*y$ cioè tende a infinito avvicinandosi a zero e sull'asse delle ordinate, non dovrei avere una forma indeterminata: $0*oo$?

Grazie per il tuo aiuto gugo

[gugo82]

Non lo puoi fare perché il limite in più variabili non funziona in quel modo lì... Ma se continui a guardare un caso in cui il limite evidentemente non esiste non lo capirai mai.

[lozaio]

In realtà non volevo dire che avessi ragione, cercavo solo di spiegare cosa non capivo per comprendere il motivo fosse sbagliato.

Ti tingrazio per le risposte