esercizi su funzioni di 2 variabili

[Aletzunny]

Scrivo qui tre esercizi(senza aprire tre post differenti) di cui non riesco ad arrivare a una soluzione:
(se ci fossero errori scusatemi ma ci ho messo moltissimo a scriverle in codice).

$1)$ sia $g:RR->RR$ continua e $f:RR^2->RR$ così definita
$f(x,y)={((xe^y-ye^x)/(x-y),if x!=y),(g(x),if x=y):}$
determinare se esiste $g$ tale che $f$ risulti continua in $RR^2$.
Determinare se $f$ è differenziabile in $(0,0)$

Poiché non riesco a svolgere la prima richiesta non riesco a fare neanche la seconda.
Infatti sulla prima non ho idea di come poter ragionare sulla continuità di $f$ senza considerare un punto, anche passando alle coordinate polari.

$2)$ $f(x,y)={((xy*e^(-|x/(x-y)|))/(x-y),if x!=y),(0,if x=y):}$

Discutere la continuità, la differenziabilità e la derivabilità in $(0,0)$
passando alle coordinate polari trovo
$(rho*cos(theta)*sin(theta)*e^(-|cos(theta)/(cos(theta)-sin(theta))|))/(cos(theta)-sin(theta))$
Poichè $|cos(theta)-sin(theta)|<=sqrt(2)$, $|cos(theta)/(cos(theta)-sin(theta))|$ $->+infty$ e $|cos(theta)sin(theta)|<=1/2$ ottengo che $|f(x,y)|<=(rho*1/2*o^+)/sqrt(2)$ $->0$ e dunque $f$ è continua in $(0,0)$
Potrebbe andare bene?
Ho qualche dubbio sulla correttezza per via del fatto che il limite valga $0$ indipendentemente da $rho$.
Derivate: usando $v=(v_1,v_2)$
$(d_f/d_v)(0,0)$ $=lim_(t->0)(f(tv_1,tv_2)-f(0,0))/t$ $=(v_1v_2*e^(-|v_1/(v_1-v_2)|))/(v_1-v_2)$ se $v_1 != v_2$

se $v_1=v_2$ allora $(d_f/d_v)(0,0)$ $=lim_(t->0)(f(tv_1,tv_1)-f(0,0))/t$ $=0$ per come è definita $f$.

$(d_f/d_x)(0,0)$ $=lim_(t->0)(f(t,0)-f(0,0))/t =(0*e^(-1))/t^2=0$
$(d_f/d_y)(0,0)$ $=lim_(t->0)(f(0,t)-f(0,0))/t =(0*1)/(-t^2)=0$

Dunque se $f$ fosse differenziabile allora dovrebbe valere
$(d_f/d_v)(0,0)=(d_f/d_x)(0,0)*v_1+(d_f/d_y)(0,0)*v_2$ ma ciò è vero solo se $v_1=v_2$ e dunque $f$ non è differenziabile in $(0,0)$

$3)$ $f(x,y)={((x-y^2)ln|x-y|),if x!=y),(0,if x=y):}$
determinare se $f$ è continua in $(0,0)$ e/o $(1,1)$.

Qui ho provato a passare alle coordinate polari facendo tendere $rho->0^+$ per $(0,0)$ e $rho->1^+$ per $(1,1)$ ma non riesco a togliermi dalla forma di indecisione $0*(-infty)$ oppure trovare una successione che tenda a $0$ tale che però la funzione $f$ su quella successione non tenda a $0$ per la continuità in $(0,0)$ e trovare una successione che tenda a $1$ tale che però la funzione $f$ su quella successione non tenda a $0$ per la continuità in $(1,1)$.

Grazie a chi mi darà una mano.

[Aletzunny]

Nessuno riesce a darmi una mano/conferma?
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda la prima parte dell'esercizio numero 1, si tratta di discutere il seguente limite:

$lim_((x,y)->(a,a))(xe^y-ye^x)/(x-y)$

per $AA a in R$. Tuttavia, mediante la trasformazione di coordinate sottostante (rototraslazione):

$\{(x=sqrt2/2barx-sqrt2/2bary+a),(y=sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a):}$

poiché:

$(xe^y-ye^x)/(x-y)=$

$=((sqrt2/2barx-sqrt2/2bary+a)e^(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a)-(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a)e^(sqrt2/2barx-sqrt2/2bary+a))/(sqrt2/2barx-sqrt2/2bary+a-sqrt2/2barx-sqrt2/2bary-a)=$

$=(e^(sqrt2/2barx+a)[(-sqrt2/2barx+sqrt2/2bary-a)e^(sqrt2/2bary)+(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a)e^(-sqrt2/2bary)])/(sqrt2bary)$

è possibile ricondursi al seguente limite:

$lim_((barx,bary)->(0,0))(e^(sqrt2/2barx+a)[(-sqrt2/2barx+sqrt2/2bary-a)e^(sqrt2/2bary)+(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a)e^(-sqrt2/2bary)])/(sqrt2bary)$

In questo modo:

$(e^(sqrt2/2barx+a)[(-sqrt2/2barx+sqrt2/2bary-a)(1+sqrt2/2bary+o(bary))+(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a)(1-sqrt2/2bary+o(bary))])/(sqrt2bary)=$

$=(e^(sqrt2/2barx+a)[-barx+sqrt2-sqrt2a+(-sqrt2/2barx+sqrt2/2bary-a)o(1)+(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a)o(1)])/sqrt2 rarr e^a(1-a)$

In definitiva:

$g(x)=e^x(1-x)$

[Aletzunny]

Grazie, questa tecnica delle rototraslazioni non l'avevo mai vista usare e non ne conoscevo le proprietà.
Dunque poichè $(d_f/d_y)(0,0)=lim_(t->0) [f(t,0)-f(0,0)]/t=(-t*1/t-1)*(1/t)=-2/t$ e tale limite non esiste finito si ha che $f$ non è differenziabile in $(0,0)$. Corretto?

Inoltre sugli altri due esercizi qualcosa di buono l'ho fatto o ci sono errori?
Grazie

Invece per gli altri esercizi hai

[anonymous_0b37e9]

Francamente, non ho capito che cosa tu abbia fatto. Ad ogni modo, per stabilire se la funzione è differenziabile nell'origine, si può procedere mediante la definizione:

$lim_((h,k)->(0,0))(f(0+h,0+k)-f(0,0)-(delf)/(delx)(0,0)h-(delf)/(dely)(0,0)k)/sqrt(h^2+k^2)=0$

Intanto:

$f(0+h,0+k)=f(h,k)=(he^k-ke^h)/(h-k)$

$f(0,0)=1$

$[f(x,0)=1] rarr [(delf)/(delx)(0,0)=0]$

$[f(0,y)=1] rarr [(delf)/(dely)(0,0)=0]$

Quindi:

$[lim_((h,k)->(0,0))((he^k-ke^h)/(h-k)-1)/sqrt(h^2+k^2)=0] rarr [lim_((h,k)->(0,0))(he^k-ke^h-h+k)/((h-k)sqrt(h^2+k^2))=0]$

Insomma, per ora lascio a te dimostrare l'esistenza dell'ultimo limite.

P.S.
Un caso a parte se $h=k$.

[Aletzunny]

Francamente, non ho capito che cosa tu abbia fatto. Ad ogni modo, per stabilire se la funzione è differenziabile nell'origine, si può procedere mediante la definizione:

$lim_((h,k)->(0,0))(f(0+h,0+k)-f(0,0)-(delf)/(delx)(0,0)h-(delf)/(dely)(0,0)k)/sqrt(h^2+k^2)=0$

Intanto:

$f(0+h,0+k)=f(h,k)=(he^k-ke^h)/(h-k)$

$f(0,0)=1$

$[f(x,0)=1] rarr [(delf)/(delx)(0,0)=0]$

$[f(0,y)=1] rarr [(delf)/(dely)(0,0)=0]$

Quindi:

$[lim_((h,k)->(0,0))((he^k-ke^h)/(h-k)-1)/sqrt(h^2+k^2)=0] rarr [lim_((h,k)->(0,0))(he^k-ke^h-h+k)/((h-k)sqrt(h^2+k^2))=0]$

Insomma, per ora lascio a te dimostrare l'esistenza dell'ultimo limite.

P.S.
Un caso a parte se $h=k$.

Si si ho sbagliato io un segno...ora mi torna...

Sugli altri invece non hai capito anche lì oppure ti riferivi alla mia risposta?

[anonymous_0b37e9]

Mi riferivo al primo esercizio. Per quanto riguarda gli altri due, ti faccio sapere.

P.S.
Il secondo mi sembra abbastanza convincente.

[Aletzunny]

Mi riferivo al primo esercizio. Per quanto riguarda gli altri due, ti faccio sapere.

P.S.
Il secondo mi sembra abbastanza convincente.

Perfetto!

Grazie

[anonymous_0b37e9]

Nell'esercizio numero 3, per quanto riguarda la continuità in $(0,0)$ e in $(1,1)$, si può procedere con l'aiuto della figura sottostante:

Premesso che:
1. I cerchi sono intorni di raggio piccolo a piacere.
2. Le parabole sono curve di livello del primo fattore:

$x-y^2=k$

lascio a te intuire come vorrei dimostrare, a parole, che i due limiti non esistono.

P.S.
Ovviamente, non escludo che esistano altre vie di più facile formalizzazione. Tuttavia, nonostante lo sforzo profuso, non sono riuscito a trovarle.

[Aletzunny]

Nell'esercizio numero 3, per quanto riguarda la continuità in $(0,0)$ e in $(1,1)$, si può procedere con l'aiuto della figura sottostante:

Premesso che:
1. I cerchi sono intorni di raggio piccolo a piacere.
2. Le parabole sono curve di livello del primo fattore:

$x-y^2=k$

lascio a te intuire come vorrei dimostrare, a parole, che i due limiti non esistono.

P.S.
Ovviamente, non escludo che esistano altre vie di più facile formalizzazione. Tuttavia, nonostante lo sforzo profuso, non sono riuscito a trovarle.

Grazie...devo trovare una direzione che mi dimostri la non continuità.

P.S. a me il limite del post precedente viene impossibile, ma non capisco dove sbaglio.