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Equazione Goniometrica "particolare"
Inviato:
29/03/2020, 09:36
da SalvaMat
Ciao a tutti,
mi sono imbattuto nella seguente equazione goniometrica, che si può scrivere in uno dei due modi:
$A' sin k_f omega t - B' cos k_f omega t = 2 cos(omega t - phi_i)$
oppure:
$C' sin(k_f omega t - gamma) = 2 cos(omega t - phi_i)$
in cui:
$t$ è la variabile
$omega$ è una costante positiva.
$k_f$ è una costante positiva.
$A'$ e $B'$ sono costanti, appartengono ad $RR$ e sono diverse da zero.
$C'$ invece è una costante positiva.
Dovrei risolverla in $t$ o $omega t$ ma purtroppo non riesco a ricondurla a nessun caso elementare di risoluzione. Ho cercato anche in internet ma non ho trovato nulla.
Potete darmi una mano?
Grazie 1000
Re: Equazione Goniometrica "particolare"
Inviato:
29/03/2020, 14:38
da gugo82
Da dove viene fuori il problema?
Sicuro ti serva risolvere esplicitamente l'equazione?
Non ti basta sapere che la soluzione esiste e stimarla in qualche modo?
Re: Equazione Goniometrica "particolare"
Inviato:
29/03/2020, 15:12
da SalvaMat
Ciao,
il problema viene fuori da un testo, il quale portando avanti un procedimento si imbatte in questa equazione.Dice che esistono due soluzioni reali ma non risolve l'equazione e va avanti col discorso portando a termine il procedimento e graficando i risultati. Ovviamente non riuscendo io risolvere l'equazione, non riesco ne ad utilizzare il procedimento, ne a validare i grafici.
Aggiungo che l'equazione mostrata è corretta perché ho rifatto tutti i passaggi del testo e mi trovo perfettamente.
Mi potrebbe anche bastare solo stimare le soluzioni, ma comunque mi piacerebbe anche sapere se è possibile risolverla analiticamente.
Grazie
P.S.: Questo ulteriore poscritto vuole chiarire da dove viene fuori il problema.
Ho una equazione differenziale di secondo grado non omogenea a coefficienti costanti:
$ y''+omega _f^2*y=I_M*omega _f^2*sin(omega t-varphi _i) $
La soluzione è:
$ y=Acos(omega _ft)+Bsin(omega _ft)+c_1sin(omega t-varphi _i) $
nel testo si pone $ kappa _f=omega _f/omega $ e dunque $ c_1=I_M kappa _f^2/(kappa _f^2-1) $
e $ A $ e $ B $ sono costanti che si ricavano imponendo le condizioni iniziali.
Lo scopo del procedimento è quello di calcolare il massimo $ Delta y $ definito come:
$ Delta y = y_(max)-y_(min) $
Per fare ciò il testo suggerisce di derivare $ y $ da cui con l'opportuna definizione delle costanti $ A' $ e $ B' $ si ottiene l'equazione trigonometrica del primo post.
La risoluzione dell'equazione trigonometrica del primo post mi permette di ricavere gli istanti $ t $ nei quali $ y $ è massima e minima e pertanto giungere al calcolo di $ y_(max) $ ed $ y_(min) $.
Re: Equazione Goniometrica "particolare"
Inviato:
15/04/2020, 21:39
da SalvaMat
Ciao a tutti,
ho scritto anche all'autore del testo per avere il metodo/procedimento di risoluzione dell'equazione, ma ad oggi non ho avuto risposta. Volendo ottenere invece soluzioni approssimate come si potrebbe procedere?
Grazie mille
Re: Equazione Goniometrica "particolare"
Inviato:
13/05/2020, 19:40
da Masaki
Le condizioni iniziali sono particolari (tipo posizione iniziale nulla o velocità iniziale nulla) o generiche? Il rapporto tra $\omega_f$ e $\omega$ è intero?
Re: Equazione Goniometrica "particolare"
Inviato:
13/05/2020, 21:03
da SalvaMat
Ciao Masaki,
il rapporto tra $ omega _f $ ed $ omega $ può essere qualsiasi; ma le condizioni iniziali sfruttano una condizione di periodicità della forma d'onda $ y $ ,in particolare si hanno le seguenti relazioni:
$ w=(2pi)/T $
$ y $ è periodica di periodo $ T_i $ e sussiste la seguente relazione: $ T_i=T/6 $
inoltre $ y $ è legata ad un'altra funzione $ u $ tale che $ u=U_S - Ldy/dt $ dove anche per $ u $ sussiste la relazione: $ u(0)=u(T_i) $
Le costanti $ A $ e $ B $ si ricavano imponendo $ y(0)=y(T_i) $ e $ u(0)=u(T_i) $;
$ U_S $ ed $ L $ sono due costanti positive.
Fammi sapere se è tutto chiaro.
Grazie1000
Re: Equazione Goniometrica "particolare"
Inviato:
14/05/2020, 11:00
da Masaki
Scusami sto facendo parecchia fatica a capire cosa stai scrivendo, puoi postare il testo dell'esercizio per favore?
Re: Equazione Goniometrica "particolare"
Inviato:
15/05/2020, 14:53
da SalvaMat
Spero siano chiare le info che ti ho inviato in pvt.
Grazie ancora