Risoluzione di limite

[19xx]

Salve,
non riesco a risolvere questo limite:

$ lim_(x -> 0) (1/x+1/sinx)(1/x-1/sinx) $

Il libro suggerisce di applicare due volte l'Hopital e di divedere poi numeratore e denominatore per $ x^2 $ .
Ma così facendo viene

$ lim_(x -> 0) (1/x+1/sinx)(1/x-1/sinx)=lim_(x -> 0) (1/x^2-1/sin^2x)= $

$ =lim_(x -> 0)(sin^2x-x^2)/(x^2sin^2x)=lim_(x -> 0)(sin(2x)-2x)/(2xsin^2x+x^2sin(2x))=$

$ =lim_(x -> 0)(2cos(2x)-2)/(2sin^2x+4xsin(2x)+2x^2cos(2x) $

Dividendo denominatore e numeratore per $ x^2 $, come suggerito, $2cos(2x)$ tende a $+oo $, -2 a $-oo $, e già qui qualcosa non torna...
Gli elementi al denominatore tendono invece a delle quantità che, sommate, danno 12.
Il risultato, secondo il libro, è $ -1/3$. Cosa sbaglio?

[pilloeffe]

Ciao 19xx,

Benvenuto sul forum!

Riprendo da dove sei arrivato:

$ \lim_{x \to 0} (sin(2x)-2x)/(2xsin^2x+x^2sin(2x)) = \lim_{x \to 0}(2cos(2x)-2)/(2sin^2x+4xsin(2x)+2x^2cos(2x)) = $
$ = - \lim_{x \to 0}(1 - cos(2x))/(sin^2x+2xsin(2x)+x^2cos(2x)) = $
$ = - \lim_{x \to 0}(1 - cos(2x))/(x^2) \cdot 1/(sin^2x/x^2 + 4 sin(2x)/(2x)+ cos(2x)) = - 2 \cdot 1/(1 + 4 + 1) = - 1/3 $

[19xx]

Cavolo, ti ringrazio!
Oggi non me ne viene uno
Buona giornata ^^