Prima di cominciare, riporto la definizione che sto utilizzando io di k-manifold in $\mathbb{R}^n$:
un insieme \(\displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) è detto superficie k-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) se per ogni punto \(\displaystyle \mathbf{x}_0\in S \) esiste un suo intorno \(\displaystyle U(\mathbf{x}_0) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) (cioé un cambio di coordinate da \(\displaystyle (x_1,...,x_n) \) a \(\displaystyle (t_1,...,t_n) \)) tale che nelle nuove coordinate l'insieme \(\displaystyle U(\mathbf{x}_0)\cap S \) si possa definire come \(\displaystyle t_{k+1}=...=t_n=0 \).Mi chiedevo se in generale è vero che un k-manifold $S\subset \mathbb{R}^n$, che sia almeno di classe \(\displaystyle C^{(1)} \), sia sempre descrivibile in un intorno \(\displaystyle U(\mathbf{x}_0) \) di un suo punto \(\displaystyle \mathbf{x}_0\in S \) con un sistema di n-k funzioni di classe \(\displaystyle C^{(1)} \) (anch'esse definite ovviamente in \(\displaystyle U(\mathbf{x}_0) \)), di rango massimo anche soltanto nel singolo punto \(\displaystyle \mathbf{x}_0 \):
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
F_1(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0
\\ F_2(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0
\\ ...
\\ F_{n-k}(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0
\end{matrix}\right. \)
Io ci provo.
Se prendiamo inizialmente il sistema, abbiamo che:
\(\displaystyle \mathbf{F}'(\mathbf{x})=\begin{pmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial x_1} &...& \frac{\partial F_1}{\partial x_k} & \frac{\partial F_1}{\partial x_{k+1}} & ... & \frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\
\frac{\partial F_2}{\partial x_1} &...& \frac{\partial F_2}{\partial x_k} & \frac{\partial F_2}{\partial x_{k+1}} & ... & \frac{\partial F_2}{\partial x_n} \\
& ... \\
\frac{\partial F_{n-k}}{\partial x_1} &...& \frac{\partial F_{n-k}}{\partial x_k} & \frac{\partial F_{n-k}}{\partial x_{k+1}} & ... & \frac{\partial F_{n-k}}{\partial x_n}
\end{pmatrix} (\mathbf{x}) \)
e supponiamo che il rango massimo in \(\displaystyle \mathbf{x}_0 \) sia realizzato dalla sotto-matrice:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial x_{k+1}} & ... & \frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\
\frac{\partial F_2}{\partial x_{k+1}} & ... & \frac{\partial F_2}{\partial x_n} \\
& ... \\
\frac{\partial F_{n-k}}{\partial x_{k+1}} & ... & \frac{\partial F_{n-k}}{\partial x_n}
\end{pmatrix} (\mathbf{x}_0) \)
dunque posso usare il teorema della funzione implicita e dire che in un altro opportuno intorno \(\displaystyle U'(\mathbf{x}_0)\subset U(\mathbf{x}_0) \) si ha:
\(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{x})=\mathbf{0}\iff \left\{\begin{matrix}
x_{k+1}=f_1(x_1,...,x_k)
\\ x_{k+2}=f_2(x_1,...,x_k)
\\ ...
\\ x_{n}=f_{n-k}(x_1,...,x_k)
\end{matrix}\right. \quad \forall (x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)\in U'(\mathbf{x}_0) \)
con \(\displaystyle \mathbf{f}\in C^{(1)} \) nel suo dominio (che sarebbe l'insieme degli \(\displaystyle (x_1,...,x_k) \) tali che \(\displaystyle (x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)\in U'(\mathbf{x}_0) \)).
A questo punto allora, per parametrizzare la superficie \(\displaystyle S \) posso considerare questo cambio di coordinate:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
t_1=x_1\\
t_2=x_2\\
...
\\
t_k=x_k\\
t_{k+1}=x_{k+1}-f_1(x_1,...,x_k)
\\ t_{k+2}=x_{k+2}-f_2(x_1,...,x_k)
\\ ...
\\ t_{n}=x_n-f_{n-k}(x_1,...,x_k)
\end{matrix}\right. \)
dove effettivamente i punti di \(\displaystyle S \) sono descritti da \(\displaystyle t_{k+1}=t_{k+2}=...=t_n=0 \). Quello che manca è far vedere che questo cambio di coordinate sia effettivamente tale, cioè che la funzione \(\displaystyle \mathbf{t}:U'(\mathbf{x}_0)\to \mathbf{t}(U'(\mathbf{x}_0)) \) sia un diffeomorfismo. Si vede velocemente che essa rispetta la definizione di iniettività ed inoltre, da una conseguenza del teorema della funzione implicita, è pure di classe \(\displaystyle C^{(1)} \) e quindi la superficie è 'smooth'.
Vediamo adesso il viceversa. Abbiamo per ipotesi una superficie \(\displaystyle S \) che sappiamo essere di dimensione k in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) e di classe \(\displaystyle C^{(1)} \). Quindi equivalentemente sappiamo che per ogni \(\displaystyle \mathbf{x}_0\in S \) esiste un suo intorno \(\displaystyle U(\mathbf{x}_0) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \mathbf{t}:U(\mathbf{x}_0)\to \mathbf{t}(U(\mathbf{x}_0)) \) di classe \(\displaystyle C^{(1)} \), tale per cui in \(\displaystyle U(\mathbf{x}_0) \) la superficie \(\displaystyle S \) si descrive come:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
t_1=t_1(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)\\
t_2=t_2(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)\\
...
\\
t_k=t_k(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)\\
t_{k+1}=t_{k+1}(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0
\\ t_{k+2}=t_{k+2}(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0
\\ ...
\\ t_{n}=t_{n}(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0
\end{matrix}\right. \)
e quindi possiamo subito rinominare virtualmente \(\displaystyle t_{k+1}(\mathbf{x}) \) in \(\displaystyle F_1(\mathbf{x}) \), ..., \(\displaystyle t_{n}(\mathbf{x}) \) in \(\displaystyle F_{n-k}(\mathbf{x}) \). Mancherebbe solo da far vedere, per provare una equivalenza completa, che il sistema di queste n-k funzioni abbia rango n-k.
Questo direi che non si può arguire sapendo soltanto che \(\displaystyle \mathbf{t}(\mathbf{x}) \) è un diffeomorfismo.
Dunque la conclusione che posso fare a valle di tutto questo discorso è: l'equivalenza è falsa, ovvero un sistema di n-k condizioni funzionali a rango massimo nel punto \(\displaystyle \mathbf{x}_0 \) definisce una superficie in un suo intorno opportuno, ma il viceversa non è vero.Secondo voi i miei ragionamenti sono corretti? Oppure ho scritto qualche cavolata?
Grazie in anticipo per eventuali riscontri.
EDIT: per il testo barrato, vedere post successivo.
Ultima modifica di
Silent il 01/04/2020, 11:43, modificato 1 volta in totale.