Trovare primitiva

Messaggioda utentephysics » 10/04/2020, 18:39

Salve, vorrei sapere qual è il procedimento da seguire per trovare una primitiva f su 2 intervalli assegnati, che inoltre sia tale che in precisi valori sia uguale 0 (l'esercizio richiede, ad esempio, che f(0) = f(2) = 0)
E come posso dire se tale primitiva è unica?
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Re: Trovare primitiva

Messaggioda sphyr » 11/04/2020, 01:11

utentephysics ha scritto:Salve, vorrei sapere qual è il procedimento da seguire per trovare una primitiva f su 2 intervalli assegnati, che inoltre sia tale che in precisi valori sia uguale 0 (l'esercizio richiede, ad esempio, che f(0) = f(2) = 0)
E come posso dire se tale primitiva è unica?

Ciao... Prova a inviare il testo dell'esercizio verbatim, lo si risolve e poi si cerca un metodo generale.
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Re: Trovare primitiva

Messaggioda utentephysics » 11/04/2020, 08:06

la funzione è:

f(x)=log(x+1)-((x+1)/(x-1))

la domanda è:

si dica se esiste ed eventualmente si determini una funzione g che su ciascuno degli intervalli del dominio della f sia una primitiva di f e sia g(0) = g(2) = 0. Si dica se tale g è unica.
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Re: Trovare primitiva

Messaggioda sphyr » 11/04/2020, 10:13

utentephysics ha scritto:la funzione è:

f(x)=log(x+1)-((x+1)/(x-1))

la domanda è:

si dica se esiste ed eventualmente si determini una funzione g che su ciascuno degli intervalli del dominio della f sia una primitiva di f e sia g(0) = g(2) = 0. Si dica se tale g è unica.

La funzione è definita per \(\displaystyle \begin{cases}
x+1>0,\\
x\neq1\\
\end{cases} \)
dunque gli intervalli di definizione sono \(\displaystyle (-1, +1) \cup (+1, +\infty) \)
L'integrale di \(\displaystyle \ln x \) si fa per parti , e per il secondo membro puoi sommare e sottrarre \(\displaystyle \frac{2}{x-1} \) per ricondurti a \(\displaystyle \frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1} \).
Ora, su ciascuno degli intervalli di esistenza \(\displaystyle I_1, I_2 \) le funzioni \(\displaystyle g_1, g_2 \)possono avere una diversa costante d'integrazione, cioè sarà
\(\displaystyle g_1(x)=g(x)+c_1 \), \(\displaystyle g_2(x)=g(x)+c_2 \),
dove \(\displaystyle g(x) \) è la primitiva che hai calcolato.
Ora devi imporre che \(\displaystyle g_1(0)=g_2(2)=0 \) e verificare che \(\displaystyle c_1=c_2 \)(non sono affatto uguali). Qualora esistesse un'unica primitiva che soddisfa tali richieste, essa dovrebbe essere unica, ma a bruciapelo non so dirti il perchè.
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Re: Trovare primitiva

Messaggioda utentephysics » 19/04/2020, 16:29

grazie per l'aiuto!
ho calcolato le due primitive:
g1(x) = ln(x+1)(x+1)-x+c1
g2(x) = x+2ln(|x-1|)

quindi li metto insieme cambiando il segno di g2(x) e ottengo:

ln(x+1)(x+1)-x+c1-x-2ln(|x-1|)-c2
(ho fatto bene a cambiare il segno anche alla costante d'integrazione c2 vero? o resta positiva?)

quindi sostituisco 0 e 2 rispettivamente a g1(x) e g2(x) e ottengo:
c1-2-2ln(3)-c2

dovrei porli uguali a 0 e verificare che c1=c2 come hai detto tu.... ma come?
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Re: Trovare primitiva

Messaggioda utentephysics » 26/04/2020, 07:47

ragazzi aiutatemi a finire questo esercizio :oops: :oops:
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