Esercizio Sviluppi di Taylor

[puccareb]

Buongiorno! Non riesco a capire come procedere per la risoluzione di questo esercizio prelevato da un tema di analisi 1:

La funzione f(x) di classe $ C^3 $ soddisfa:

$ f(x) = 1 + a(a − 1)(a + 2)x + ax^2 + x^3 + o(x^3) $ per x → 0,

dove a∈R è un parametro. Allora la funzione f ha:
a) minimo in x=0 per a=1;
b) ha minimo in x = 0 per a = −2;
c) ha minimo in x = 0 per a = 0;
d) non ammette minimo in x = 0 per alcun valore di a ∈ R.


La risposta è la a, ma non ne capisco il motivo. Spero possiate aiutarmi, grazie!

[gugo82]

Beh, si tratta di applicare i teoremi classici di Calcolo Differenziale sui massimi e minimi.
Li conosci?

[puccareb]

Non credo, potresti illuminarmi? Ci siamo fermati al calcolo integrale senza affrontare quello differenziale

[gugo82]

Che io ti risolva l’esercizio senza che tu abbia gli strumenti minimi per capire il discorso è del tutto inutile.
Prendi il libro e studia i teoremi sulle derivate; poi ne parliamo.

[Aletzunny]

Buongiorno! Non riesco a capire come procedere per la risoluzione di questo esercizio prelevato da un tema di analisi 1:

La funzione f(x) di classe $ C^3 $ soddisfa:

$ f(x) = 1 + a(a − 1)(a + 2)x + ax^2 + x^3 + o(x^3) $ per x → 0,

dove a∈R è un parametro. Allora la funzione f ha:
a) minimo in x=0 per a=1;
b) ha minimo in x = 0 per a = −2;
c) ha minimo in x = 0 per a = 0;
d) non ammette minimo in x = 0 per alcun valore di a ∈ R.


La risposta è la a, ma non ne capisco il motivo. Spero possiate aiutarmi, grazie!

devi ricavare $f'(x)$ in funzione di $a$ e studiarne il segno in modo tale da ottenere il quadro di dove si trovano i minimi e i massimi; se ciò non basta devi affidarti ai teoremi sui massimi e i minimi utilizzando la derivata seconda $f''(x)$

[gugo82]

@ Aletzunny: Non è possibile ricavare $f'(x)$ in modo da studiarne il segno.

[Mephlip]

@puccareb: Detto "brutalmente", una funzione localmente in un intorno di $x_0$ si comporta come il suo primo termine non costante e non nullo del suo sviluppo in serie di Taylor per $x \to x_0$; da ciò cosa puoi dedurre?

[Aletzunny]

@ Aletzunny: Non è possibile ricavare $f'(x)$ in modo da studiarne il segno.

Hai perfettamente ragione! Non capivo il perché poi ho notato la presenza dell'$o$ piccolo.

Mi scuso per l'errore