Coordinate polari per risolvere i limiti

[Overflow94]

Siano $X$ e $Y$ spazi metrici e $f:X -> Y$ e $h: X -> X$. Se $ f (x)$ è continua in $x_0$ e $h(y)$ è continua in $y_0$ e tale che $h(y_0)=x_0$ si ha:

$ lim_(x -> x_0)f(x)= lim_(y -> y_0)f(h(y)) $

Questo framwork teorico è sufficiente a giustificare il passaggio alle coordinate polari nello studio di un limite come negli esempi? In che modo esattamente?

$ lim_((x, y) ->(0, 0))\frac(x^2 - y^2)(\sqrt(x^2+y^2))=lim_(\rho -> 0)\rho(costheta - sintheta)=0 $

Oppure:

$ lim_((x, y) ->(0, 0))\frac(x^2 - y^2)(x^2+y^2)=lim_(\rho -> 0)costheta - sintheta= non \ \ esiste $

[dissonance]

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 63#p499363

[Overflow94]

Grazie, questa proposizione in effetti spiega tutto ed è immediata da dimostrare.

A livello teorico mi sembra che sia tutto completamente spiegato da questa proposizione:

Sia $f$ una funzione reale di due variabili definita in un intorno bucato di $(0, 0)$ e sia $bar{f}$ l'espressione locale di $f$ in coordinate polari $(rho, theta)$. Sono equivalenti:

a) esiste $l \in RRuu{+-infty}$ tale che $lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)=l$;
b) esiste $l \in RR uu {+-infty}$ tale che $lim_{rho \to 0^+} bar{f}(rho, theta) = l$ uniformemente rispetto a $theta \in [0, 2pi)$.