Serie Numerica "impossibile"

[Bossmer]

Buongiorno a tutti,
vorrei sapere se qualcuno conosce un esempio di serie numerica a termini positivi, di cui attualmente nessuno è mai riuscito a stabilire il carattere.
grazie a tutti.

[obnoxious]

https://math.stackexchange.com/question ... is-unknown

Una difficile ma di cui si sa è \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1+ |\sin(n)|}}. \]

[Bossmer]

https://math.stackexchange.com/questions/20555/are-there-any-series-whose-convergence-is-unknown

Una difficile ma di cui si sa è \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1+ |\sin(n)|}}. \]

Grazie mille!!!

[Bossmer]

Una difficile ma di cui si sa è \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1+ |\sin(n)|}}. \]

Beh perché difficile ?? $n$ è un numero naturale, quindi $|\sin(n)|>0$ strettamente per ogni $n$, quindi l'esponente di $n$ è sempre strettamente maggiore di $1$ e perciò converge... poi sicuramente si può mettere qualche puntino sulle $i$ per applicare meglio il teorema del confronto, ma il succo sarà questo no ?

[gugo82]

@ Bossmer: Il Criterio dell'Ordine di Infinitesimo non funziona così.

[Mephlip]

Temo che il criterio del confronto asintotico purtroppo non funzioni, a caldo mi viene da dire che non funziona perché il limite per $n \to \infty$ di $|\sin n|$ non esiste e quindi non puoi dedurre che la serie si comporta come una serie armonica convergente; se sbaglio qualcuno mi corregga!

Bella domanda comunque!

[obnoxious]

Il problema è che \( \sin(n) \) è denso in \( [-1,1] \), quindi c'è una sottosuccessione di \( 1/n^{1+|\sin(n)|} \) che è ""arbitrariamente vicina"" a \( 1/n \). Bisogna capire a che velocità \( |\sin(n_k)| \to 0 \).

[pilloeffe]

Una difficile ma di cui si sa è

$\sum_{n = 1}^{+infty} 1/(n^{1+|sin(n)|}) $

Questa serie è già stata discussa in questo thread, dove fra l'altro anch'io la feci troppo facile commettendo lo stesso errore di ragionamento di Bossmer. Si dimostra invece che tale serie è divergente, ma la dimostrazione è tutt'altro che semplice...