differenziabilità di funzione

[Aletzunny]

$f(x,y)={((xe^y-ye^x)/(x-y),if x!=y),(e^x-xe^x,if x=y):}$

l'esercizio chiede la differenziabilità in $(0,0)$

calcolando le derivate parziali con la definizione trovo

$d_f/d_x (0,0)=lim_(t->0) (f(t,0)-f(0,0))/t = (t*1-0*e^t-1)/((t-0)*t)=(t-1)/t^2=-infty$

$d_f/d_y (0,0)=lim_(t->0) (f(0,t)-f(0,0))/t = (0*e^t-t*e^0-1)/((0-t)*t)=(t+1)/t^2=+infty$

e dunque $f$ non è differenziabile in $(0,0)$

tuttavia la soluzione riporta che $d_f/d_x (0,0)=0=d_f/d_y(0,0)$ e io non riesco a trovare l'errore nei miei calcoli.
Qualcuno riesce ad aiutarmi?
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Non vorrei che tu avessi sbagliato a riportare il testo:

$[x ne y] rarr [f(x,y)=(xe^y-ye^x)/(x-y)]$

Tra l'altro:

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 5#p8456706

Ovviamente, lascio ai moderatori, nel caso, esprimere una opinione sul tuo comportamento.

[Aletzunny]

onestamente l'ho preso da un ex tema d'esame e non ho fatto caso che fosse la risoluzione di un esercizio già fatto negli esercizi e che avevo chiesto...chiedo scusa...non me ne ero assolutamente accorto

[Aletzunny]

Non vorrei che tu avessi sbagliato a riportare il testo:

$[x ne y] rarr [f(x,y)=(xe^y-ye^x)/(x-y)]$

Tra l'altro:

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 5#p8456706

Ovviamente, lascio ai moderatori, nel caso, esprimere una opinione sul tuo comportamento.

si si c'era un errore di battitura mio nel post...

[Aletzunny]

onestamente l'ho preso da un ex tema d'esame e non ho fatto caso che fosse la risoluzione di un esercizio già fatto negli esercizi e che avevo chiesto...chiedo scusa...non me ne ero assolutamente accorto

ancora però non riesco a capire se il calcolo delle derivate parziali è corretto.
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Non tutto il male viene per nuocere. Se non altro, a proposito della prima parte dell'esercizio, hai avuto una "quasi conferma" della correttezza dello svolgimento.

Per quanto riguarda la seconda parte, sono sicuro di averla svolta correttamente. Tuttavia, se è stato assegnato in sede di esame, sorge il dubbio che esista una via più immediata. Un po' ne dubito.

... ancora però non riesco a capire se il calcolo delle derivate parziali è corretto.

Veramente, non è nemmeno necessario procedere mediante i rapporti incrementali:

$[f(x,y)=(xe^y-ye^x)/(x-y)] ^^ [y=0] rarr [f(x,0)=1]$

$[f(x,y)=(xe^y-ye^x)/(x-y)] ^^ [x=0] rarr [f(0,y)=1]$

A questo punto, quanto possono valere le derivate parziali nell'origine?

P.S.
A questo punto, non è ammissibile che tu non riesca a correggere autonomamente il tuo procedimento. Intendiamoci. Il problema non è commettere un errore. Il problema è il verificarsi contemporaneo delle tre condizioni sottostanti:
1. Commettere un errore banale, talmente banale da poter essere considerato una svista.
2. Sapere di averlo commesso.
3. Non riuscire a correggerlo.

[Aletzunny]

Non tutto il male viene per nuocere. Se non altro, a proposito della prima parte dell'esercizio, hai avuto una "quasi conferma" della correttezza dello svolgimento.

Per quanto riguarda la seconda parte, sono sicuro di averla svolta correttamente. Tuttavia, se è stato assegnato in sede di esame, sorge il dubbio che esista una via più immediata. Un po' ne dubito.

... ancora però non riesco a capire se il calcolo delle derivate parziali è corretto.

Veramente, non è nemmeno necessario procedere mediante i rapporti incrementali:

$[f(x,y)=(xe^y-ye^x)/(x-y)] ^^ [y=0] rarr [f(x,0)=1]$

$[f(x,y)=(xe^y-ye^x)/(x-y)] ^^ [x=0] rarr [f(0,y)=1]$

A questo punto, quanto possono valere le derivate parziali nell'origine?

P.S.
A questo punto, non è ammissibile che tu non riesca a correggere autonomamente il tuo procedimento. Intendiamoci. Il problema non è commettere un errore. Il problema è il verificarsi contemporaneo delle tre condizioni sottostanti:
1. Commettere un errore banale, talmente banale da poter essere considerato una svista.
2. Sapere di averlo commesso.
3. Non riuscire a correggerlo.

Allora se $f(x,0)=f(0,y)=1$ direi che $f$ è costante sugli assi e dunque $f'(0,0)=0$...cosi?

Quello che però vorrei capire ( e davvero non ci riesco) è dove sta l'errore nell'uso del rapporto incrementale di cui nel post ho messo i passaggi. Mi sembra che fili liscio e invece arrivo ad ottenere $+-infty$...

[anonymous_0b37e9]

Sai svolgere il limite sottostante?

$lim_(h->0)(1-1)/h$

[Aletzunny]

Si tratta di $0/h$=0

[Aletzunny]

Però non capisco il nesso con $(t+-1)/t^2$