Continuità uniforme

Ciao, voglio dimostrare che $f(x)=root(3)x$ è uniformemente continua su $RR$. Ragionando un po' sul grafico (considerando un intorno sul punto $x=0$ di non derivabilità) ho pensato che bastasse scegliere nella definizione di uniforme continuità $delta(epsilon)=epsilon^3/4$. Ho provato ma non riesco a verificare il risultato. Potete aiutarmi?

Beh, basta tener presente che:
\[
\left| \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} \right| \leq \sqrt[3]{|x-y|}
\]
(perché? Sai dimostrarlo?)...

\[
\left| \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} \right| \leq \sqrt[3]{|x-y|}
\]

grazie per la risposta ma quella cosa non mi sembra sempre vera... ad esempio con $x=1$ e $y=-1$ non vale. Però stando a come ho "scelto" $delta=epsilon^2/4$ applicando la definizione di uniforme continuità forse devo dimostrare che $|root(3)(x)-root(3)(y)|<=root(3)(4)*root(3)(|x-y|)$ che mi sembra plausibile, o sbaglio qualcosa?

Sì, mi ero mangiato una costante... La disuguaglianza corretta è:
\[ \left| \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}\right| \leq C\ \sqrt[3]{|x - y|} \]
con $C=2^(2/3)$.

Sì, mi ero mangiato una costante... La disuguaglianza corretta è:
\[ \left| \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}\right| \leq C\ \sqrt[3]{|x - y|} \]
con $C=2^(2/3)$.

Va bene allora credo di averlo fatto ma in un modo lungo e doloroso:

$ |root(3)(x)-root(3)(y)|<=root(3)(4)*root(3)(|x-y|) $
suppongo $x>y$:
$ root(3)(x)-root(3)(y)<=root(3)(4)*root(3)(x-y) $
elevo alla terza (posso farlo per la crescenza di $y=x^3$):
$ x-y-3root(3)(x^2)root(3)(y)+3root(3)(x)root(3)(y^2)<=4*(x-y) $
semplificando tutto diventa:
$ x-y+root(3)(x^2)root(3)(y)-root(3)(x)root(3)(y^2)>=0 $
$ x-y+root(3)(x)root(3)(y)(root(3)(x)-root(3)(y))>=0 $
$ x-y>=-root(3)(x)root(3)(y)(root(3)(x)-root(3)(y)) $
ricordando che $x>y$:
$ (x-y)/(root(3)(x)-root(3)(y))>=-root(3)(x)root(3)(y)$
$ root(3)(x^2)+root(3)(y^2)+root(3)(x)root(3)(y)>=-root(3)(x)root(3)(y)$
$ (root(3)(x)+root(3)(y))^2>=0 $.
A questo punto ripeto per $y>x$.
L'esercizio era in una simulazione di esame quindi credo che ci sia un modo più facile per farlo che però mi sfugge

Se vuoi un metodo più rapido ti devi appoggiare a dei teoremi.
Ad esempio, per $x in (-infty, - 1) uu(1,+infty)$, la funzione è derivabile con derivata limitata, quindi è lipschitziana, quindi è uniformemente continua.
Su $[-1,1]$ puoi usare il teorema di Heine Cantor.

Se vuoi un metodo più rapido ti devi appoggiare a dei teoremi.
Ad esempio, per $x in (-infty, - 1) uu(1,+infty)$, la funzione è derivabile con derivata limitata, quindi è lipschitziana, quindi è uniformemente continua.
Su $[-1,1]$ puoi usare il teorema di Heine Cantor.

Chiarissimo grazie mille
Quindi volendo questo funziona anche con radici di indice pari, giusto? Basta prendere $[0,1]$ che è compatto

Quindi volendo questo funziona anche con radici di indice pari, giusto? Basta prendere $[0,1]$ che è compatto

Si anche