gugo82 ha scritto:Sì, mi ero mangiato una costante... La disuguaglianza corretta è:
\[ \left| \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}\right| \leq C\ \sqrt[3]{|x - y|} \]
con $C=2^(2/3)$.
Va bene allora credo di averlo fatto ma in un modo lungo e doloroso:
$ |root(3)(x)-root(3)(y)|<=root(3)(4)*root(3)(|x-y|) $
suppongo $x>y$:
$ root(3)(x)-root(3)(y)<=root(3)(4)*root(3)(x-y) $
elevo alla terza (posso farlo per la crescenza di $y=x^3$):
$ x-y-3root(3)(x^2)root(3)(y)+3root(3)(x)root(3)(y^2)<=4*(x-y) $
semplificando tutto diventa:
$ x-y+root(3)(x^2)root(3)(y)-root(3)(x)root(3)(y^2)>=0 $
$ x-y+root(3)(x)root(3)(y)(root(3)(x)-root(3)(y))>=0 $
$ x-y>=-root(3)(x)root(3)(y)(root(3)(x)-root(3)(y)) $
ricordando che $x>y$:
$ (x-y)/(root(3)(x)-root(3)(y))>=-root(3)(x)root(3)(y)$
$ root(3)(x^2)+root(3)(y^2)+root(3)(x)root(3)(y)>=-root(3)(x)root(3)(y)$
$ (root(3)(x)+root(3)(y))^2>=0 $.
A questo punto ripeto per $y>x$.
L'esercizio era in una simulazione di esame quindi credo che ci sia un modo più facile per farlo che però mi sfugge