Continuità uniforme

[ProPatria]

Ciao, voglio dimostrare che $f(x)=root(3)x$ è uniformemente continua su $RR$. Ragionando un po' sul grafico (considerando un intorno sul punto $x=0$ di non derivabilità) ho pensato che bastasse scegliere nella definizione di uniforme continuità $delta(epsilon)=epsilon^3/4$. Ho provato ma non riesco a verificare il risultato. Potete aiutarmi?

[gugo82]

Beh, basta tener presente che:
\[
\left| \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} \right| \leq \sqrt[3]{|x-y|}
\]
(perché? Sai dimostrarlo?)...

[ProPatria]

\[
\left| \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} \right| \leq \sqrt[3]{|x-y|}
\]

grazie per la risposta ma quella cosa non mi sembra sempre vera... ad esempio con $x=1$ e $y=-1$ non vale. Però stando a come ho "scelto" $delta=epsilon^2/4$ applicando la definizione di uniforme continuità forse devo dimostrare che $|root(3)(x)-root(3)(y)|<=root(3)(4)*root(3)(|x-y|)$ che mi sembra plausibile, o sbaglio qualcosa?

[gugo82]

Sì, mi ero mangiato una costante... La disuguaglianza corretta è:
\[ \left| \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}\right| \leq C\ \sqrt[3]{|x - y|} \]
con $C=2^(2/3)$.

[ProPatria]

Sì, mi ero mangiato una costante... La disuguaglianza corretta è:
\[ \left| \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}\right| \leq C\ \sqrt[3]{|x - y|} \]
con $C=2^(2/3)$.

Va bene allora credo di averlo fatto ma in un modo lungo e doloroso:

$ |root(3)(x)-root(3)(y)|<=root(3)(4)*root(3)(|x-y|) $
suppongo $x>y$:
$ root(3)(x)-root(3)(y)<=root(3)(4)*root(3)(x-y) $
elevo alla terza (posso farlo per la crescenza di $y=x^3$):
$ x-y-3root(3)(x^2)root(3)(y)+3root(3)(x)root(3)(y^2)<=4*(x-y) $
semplificando tutto diventa:
$ x-y+root(3)(x^2)root(3)(y)-root(3)(x)root(3)(y^2)>=0 $
$ x-y+root(3)(x)root(3)(y)(root(3)(x)-root(3)(y))>=0 $
$ x-y>=-root(3)(x)root(3)(y)(root(3)(x)-root(3)(y)) $
ricordando che $x>y$:
$ (x-y)/(root(3)(x)-root(3)(y))>=-root(3)(x)root(3)(y)$
$ root(3)(x^2)+root(3)(y^2)+root(3)(x)root(3)(y)>=-root(3)(x)root(3)(y)$
$ (root(3)(x)+root(3)(y))^2>=0 $.
A questo punto ripeto per $y>x$.
L'esercizio era in una simulazione di esame quindi credo che ci sia un modo più facile per farlo che però mi sfugge

[LoreT314]

Se vuoi un metodo più rapido ti devi appoggiare a dei teoremi.
Ad esempio, per $x in (-infty, - 1) uu(1,+infty)$, la funzione è derivabile con derivata limitata, quindi è lipschitziana, quindi è uniformemente continua.
Su $[-1,1]$ puoi usare il teorema di Heine Cantor.

[ProPatria]

Se vuoi un metodo più rapido ti devi appoggiare a dei teoremi.
Ad esempio, per $x in (-infty, - 1) uu(1,+infty)$, la funzione è derivabile con derivata limitata, quindi è lipschitziana, quindi è uniformemente continua.
Su $[-1,1]$ puoi usare il teorema di Heine Cantor.

Chiarissimo grazie mille
Quindi volendo questo funziona anche con radici di indice pari, giusto? Basta prendere $[0,1]$ che è compatto

[LoreT314]

Quindi volendo questo funziona anche con radici di indice pari, giusto? Basta prendere $[0,1]$ che è compatto

Si anche