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Salve!
In questi giorni sto affrontando il calcolo degli integrali, e non riesco a risolvere questo:
$ int ln(1+x^3)^(x^2)dx $

Riesco ad arrivare solo fino a qui:
$ int ln(1+x^3)^(x^2)dx=int x^2ln(1+x^3)dx= $
$ =(x^3ln(1+x^3))/3-intx^5/(1+x^3)dx $

A questo punto, però, il problema si sposta sul calcolo di

$ intx^5/(1+x^3)dx $

E non so proprio come fare. Il libro da cui sto studiando non ha ancora affrontato l'integrazione per sostituzione, quindi l'integrale va risolto senza farne uso.

Scrivi $x^5=x^2 \cdot x^3=x^2(x^3+1-1)=x^2(x^3+1)-x^2$, dunque
$$\frac{x^5}{1+x^3}=\frac{x^2(x^3+1)-x^2}{1+x^3}=\frac{x^2(x^3+1)}{1+x^3}-\frac{x^2}{1+x^3}=x^2-\frac{x^2}{1+x^3}$$
Ora dovresti saper concludere anche senza sostituzioni.
Come alternativa, puoi fare la divisione tra polinomi in $\frac{x^5}{1+x^3}$.

Caspita, non ci avevo proprio pensato
Grazie mille (di nuovo)

Prego! Tuttavia non capisco quale sia il motivo didattico di introdurre dopo le sostituzioni, l'unica cosa che mi viene in mente è per un "approccio creativo" ma, onestamente, penso sia più utile prima conoscere bene le tecniche standard.

Mephlip ha scritto:Tuttavia non capisco quale sia il motivo didattico di introdurre dopo le sostituzioni, l'unica cosa che mi viene in mente è per un "approccio creativo"

Anche a me onestamente sfugge il motivo didattico, mentre a proposito di "approccio creativo" in alternativa farei così:

$ \int x^5/(1+x^3) \text{d}x = \int (x^3 \cdot x^2 \text{d}x)/(1+x^3) = 1/3 \int (x^3)/(1+x^3) \text{d}(x^3) = 1/3 \int (1 + x^3 - 1)/(1+x^3) \text{d}(x^3) = $
$ = 1/3 [\int \text{d}(x^3) - \int (\text{d}(1 + x^3))/(1 + x^3)] = 1/3 [x^3 - ln(1 + x^3)] + c $

Perciò in definitiva si ha:

$\int ln (1 + x^3)^{x^2} \text{d}x = (x^3ln(1 + x^3))/3 - \int x^5/(1+x^3) \text{d}x = 1/3 [x^3 ln(1 + x^3) - x^3 + ln(1 + x^3)] + c $

Il modulo sull'argomento del logaritmo è stato omesso in quanto la proprietà dei logaritmi applicata inizialmente presuppone che l'argomento del logaritmo sia positivo.