23/04/2020, 18:58
23/04/2020, 19:35
23/04/2020, 22:22
dissonance ha scritto:Queste foto non fanno venire voglia di rispondere, è una seccatura aprire le immagini, stare a leggere tutto quel papiro per indovinare quale potrebbe essere il tuo dubbio. Se tu scrivessi una domanda auto-contenuta sarebbe molto meglio.
Comunque, immagino che il teorema spettrale risolve completamente il tuo dubbio. La matrice Hessiana è simmetrica, e quindi, per ogni \(x\in\mathbb R^n\), esiste un sistema di coordinate cartesiane ortogonali che la diagonalizzano. Ti puoi quindi ridurre a studiare una funzione con matrice Hessiana diagonale, e qui la risposta al tuo dubbio è molto più semplice.
23/04/2020, 22:33
24/04/2020, 09:15
dissonance ha scritto:Supponiamo che \(x_0=0\) e che \(f(0)=0\), e anche \(\nabla f(0)=0\), per semplificare le formule. Allora
\[
f(x)=\frac12 x^t Hf(0)x + o(|x|^2).\]
Ora supponiamo che la matrice \(Hf(0)\) sia diagonale, cosa che, come abbiamo detto, possiamo sempre fare;
\[
Hf(0)=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0& \ldots & \ldots\\ 0& \lambda_2 & \ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots& \ldots &\ldots\end{bmatrix}.\]
Quindi
\[
f(x)=\lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 +\ldots +\lambda_n x_n^2 + o(|x|^2).\]
Trascurando l'errore, dovresti poter rispondere a tutti i dubbi usando questa formula
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