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Ciao, ho provato a risolvere l'esercizio 6 della raccolta di esercizi proposta dal Prof. Canuto: chiede di determinare
\[
f^{-1}((-\infty, 0])
\]
della funzione
\[
f(x)=\log(2-|x|)
\]
dopo aver determinato il dominio della funzione, l'intervallo $(-2,2)$ ho tracciato il grafico della funzione aiutandomi con i limiti. Allora basandomi sul grafico ho stabilito che la funzione non è invertibile. Però il libro di analisi 1 che sto leggendo (S. Lancilotti, Analisi I), nel capitolo sulle funzioni, si afferma che "Se $f$ non è invertibile, allora $f^{-1}(b)$ indica solo la preimmagine di $b$ traite $f$. In questo caso la preimmagine è l'unione di intervalli $(-2, -1]\cup [1,2)$? Io sono giunto a questa conclusione osservando il grafico ma in un'altra parte dello stesso libro si afferma che "è sempre possibile determinare esplicitamente la preimmagine di un sottoinsieme di $R$. Basta risolvere una equazione o disequazione. le equazioni da risolvere sono le seguenti?
\[
y=2-e^x
\]
e
\[
y=e^x-2
\]

Sì, purtroppo c'è questa ambiguità tra la funzione inversa e la preimmagine nel simbolismo; tranne il perverso caso in cui uno vuole sapere l'immagine di un insieme tramite la funzione inversa di $f$ solitamente non c'è ambiguità.

In questo caso ti chiede la preimmagine, il tuo risultato è corretto; la preimmagine è $(-2,-1] \cup [1,2)$.
Quello che non è corretto sono le due equazioni, devi imporre $y=\ln(2-|x|)$ e risolvere per $x$; ricorda che la preimmagine è un sottoinsieme dell'insieme di partenza, perciò sono dei valori di $x$.
In realtà puoi fare anche come hai fatto tu, ma ricordati poi alla fine di invertire $x$ ed $y$; tuttavia credo che uno possa dimenticarsene e credo sia didatticamente meno sensato, non ti fa assimilare appieno cosa sia la preimmagine.

Comunque quel "sempre possibile determinare esplicitamente la preimmagine" non mi piace tanto, non tutte le equazioni/disequazioni si risolvono esplicitamente.

OK grazie. Partendo dalle espressioni
\[
f(x)=\log(2-x), 0\leq x<2
\]
e
\[
f(x)=\log(2+x), -2<x<0
\]
ricavo la x in entrambe le forme passando all'esponenziale
\[
x=2-e^y
\]
e
\[
x=e^y-2
\]

sostituisco nelle disequazioni precedenti e risolvendo i sistemi giungo appunto ai due intervalli della preimmagine.