Proprietà degli integrali

Buonasera,
sto cercando di dimostrare il seguente teorema sugli integrali:

Se $f:[a,b] -> RR$ è integrabile, allora $ f^+ $ , $ f^- $ e $ |f| $ sono integrabili. Inoltre $ |int_(a)^(b) f(x) dx| <= int_(a)^(b) |f(x)| dx $ .

Ho ragionato così:
per ipotesi so che $ f $ è integrabile e quindi $ AA epsilon> 0 $ $ EE P $ suddivisione di $ [a,b] $ tale che
$ S(f,P) - s(f,P)<= epsilon $

Ora io vorrei scrivere che
$ S(f^+,P) -s(f^+,P)<=S(f,P) -s(f,P)<= epsilon $
e in questo modo dimostrerei che $ f^+ $ è integrabile, poiché soddisfa il criterio di integrabilità.

Per poterlo scrivere, però, dovrei dimostrare la seguente disuguaglianza
$"sup" f^+ - "inf" f^+ <= "sup" f^(-) - "inf" f^(-) $
ma non so come fare.
Potreste aiutarmi?
Grazie mille

Ultima modifica di gugo82 il 25/04/2020, 15:43, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Sistemate le formule.

Beh, così a naso, stai tentando di dimostrare una cosa falsa.

Ti scrivo la dimostrazione che riporta il libro (Pagani-Salsa, Analisi matematica 1, dimostrazione teorema 1.8, pag 449):
Poichè $f$,$f^+$, $f^-$, $|f|$ sono integrabili e poichè $f=1/2(f^+ -f^-)$ e $|f|=1/2(f^+ +f^-)$, abbiamo che
$ |int_a^bf(x)dx|=|int_a^b1/2(f^+ -f^-)dx|<=1/2(int_a^b f^+dx)+1/2(int_a^b f^(-) dx)=int_a^b 1/2(f^+ + f^- ) dx= int_a^b |f(x)| dx $