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Salve a tutti, da poco nel corso di Analisi 2 abbiamo introdotto il Teorema di Stokes e prima di enunciarlo il professore ha introdotto in maniera superficiale il concetto di bordo di una superficie in R^3 definendolo come la chiusura di tale superficie meno la superficie stessa.
Ha quindi fatto l'esempio della sfera ${(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1}$ mostrandoci come, essendo la sua chiusura la superficie stessa, secondo la definizione il bordo è vuoto(e quindi è una superficie chiusa).
Guardando però sul libro la definizione di bordo sembra essere del tutto diversa da quella introdotta dal nostro professore. In parole povere sul libro c'è scritto che il bordo dipende dalla parametrizzazione di tale superficie ed è la superfice meno l'interno della superficie dove, se $sigma: R to Sigma$ è la parametrizzazione, l'interno della superficie sono l'immagine di $sigma$ dei punti interni a $R$.

Sapreste spiegarmi se sono io che sbaglio e in realtà le due definizioni sono analoghe o se una delle due è errata?
Grazie!

Dato un insieme $\Omega$, per definizione, il suo bordo (o forntiera) $\partial\Omega$ è l'insieme di tutti i punti $(x,y,z)$ per i quali ogni intorno $B_\epsilon(x,y,z)$, comunque scelto piccolo $\epsilon inR_+$, contiene sia punti di $\Omega$ che del suo complementare. In generale, preso un $\Omega\subRR^n$, il punto $\vecx_0inRR^n$ appartiene a $\partial\Omega$ se:

$AA\epsilon>0 \rArr B_\epsilon(\vecx_0)nn\Omega!=\emptyset \^^ B_\epsilon(\vecx_0)nn\Omega^C!=\emptyset$

Per quanto riguardal le applicazioni, dipende da cosa ci devi fare. Mi spiego meglio.

Supponiamo di essere in $RR^2$, e il nostro insieme è semplicemente una circonferenza di centro l'origine e raggio 1 $\Omega = {(x,y)inRR^2: x^2+y^2<1}$. Se ti interessa il bordo come insieme, allora semplicemente $\partial\Omega = {(x,y)inRR^2: x^2+y^2=1}$

Se invece, ad esempio, ti fosse necessario calcolare un integrale sulla frontiera, chiaramente ti serve una parametrizzazione, e con una notazione un pò forzata $\partial\Omega(t) = (cost,sint)$ con $tin[0,2pi]$. il sostegno (immagine) di questa curva, coincide ovviamente con l'insieme $\partial\Omega = {(x,y)inRR^2: x^2+y^2=1}$

Questo discorso puoi ovviamente farlo identico anche in $RR^3$, sostituendo il concetto di curva con quello di superficie parametrica.