Intersezione sfera - cilindro (Finestra di Viviani)

Messaggioda Flamber » 25/04/2020, 11:40

Ho un dubbio, forse un pò stupido, e penso sia dovuto al fatto che il mio libro di geometria ed algebra lineare ha un bel pò di polvere sopra.

Prima di entrare nella parte "clou" del discorso che sono tutte le possibili intersezioni di una sfera con un cilindro, voglio partire dal caso più semplice, quello di un cilindro il cui asse passa per il centro della sfera. Immaginiamo di voler calcolare il volume della regione D:

$D={(x,y,z)inRR^3: x^2+y^2+z^2<=4, x^2 + y^2>=1, z>=0}$

Dovrebbe essere qualcosa del genere, una sfera "perforata" da un cilindro:

Immagine

Procedendo con integrazione per strati, le intersezioni con i piani del tipo $z=costante$ sono delle corone circolari. Devo trovare il minimo ed il massimo valore di z per cui queste intersezioni sono non vuote. Ovviamente $z_min = 0$, ora devo trovare $z_max$, metto a sistema le equazioni del cilindro e della sfera, ed ottengo:

$\{(x^2+y^2+z^2=4),(x^2 + y^2=1):}$

quindi, prendendo solo la soluzione positiva ($z>=0$) ottengo:

$\{(z=sqrt(3)),(x^2 + y^2=1):}$

Da che mi ricordi, queste dovrebbero essere le equazioni che descrivono una circonferenza in $RR^3$, quindi semplicemente sarà l'intersezione tra il piano con il cilindro. Quindi $z_max = sqrt(3)$.

Innanzitutto vorrei sapere se il ragionamento e giusto, e poi vorrei capire qual è la regola generale che c'è alla base, o in alternativa se c'è un altro modo per verificare per quale valore di z massimo per il quale le intersezioni non siano vuote.

Una volta capito questo, vi esporrei il mio dubbio sulla curva di Viviani. Vi ringrazio

P.S. Non pubblico in geometria perchè dopo, alla base del mio dubbio c'è il calcolo di un integrale
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Messaggioda Sergeant Elias » 25/04/2020, 12:36

Se ho capito bene vuoi determinare $\Pi_3$, l'insieme dei valori che deve assumere $z$ affinché $A_z$ sia diverso dal vuoto, analiticamente, senza l'aiuto della rappresentazione grafica. Intanto:

Insieme $A_z$

$[x^2+y^2 lt= 4-z^2] ^^ [x^2+y^2 gt= 1] ^^ [z gt= 0]$

A questo punto, affinché le prime due condizioni siano entrambe soddisfatte, necessariamente:

$4-z^2 gt= 1$

da mettere a sistema con la terza:

Insieme $\Pi_3$

$[4-z^2 gt= 1] ^^ [z gt= 0] rarr$

$rarr [z^2-3 lt= 0] ^^ [z gt= 0] rarr$

$rarr [-sqrt3 lt= z lt= sqrt3] ^^ [z gt= 0] rarr$

$rarr [0 lt= z lt= sqrt3]$
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Re: Intersezione sfera - cilindro (Finestra di Viviani)

Messaggioda Flamber » 25/04/2020, 13:22

Ti ringrazio, era esattamente quello che avevo chiesto.

Però se adesso avessi la necessità di trovare la curva intersezione dei due insiemi, il metodo generale per procedere è quello che ho utilizzato? In questo caso il risultato è banale perchè so che l'intersezione saranno sicuramente due circonferenze. Ma nel caso in cui il centro della sfera non coincida con l'asse del cilindro, come faccio ad ottenere l'equazione (immagino parametrica) della curva intersezione?

Ad esempio, introducendo una semplice traslazione del cilindro, se la sfera fosse $x^2*y^2*z^2=3$ e il cilindro $(x-3)^2+y^2=1$, come devo procedere per arrivare a questa curva?

Immagine
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Messaggioda Sergeant Elias » 25/04/2020, 14:31

Premesso che la finestra di Viviani è la curva intersezione delle due superfici sottostanti:

Sfera

$x^2+y^2+z^2 = R^2$

Cilindro

$x^2+y^2-Rx=0$

un esempio più calzante potrebbe essere:

$[x^2+y^2+z^2 = 1] ^^ [x^2+y^2-x=0]$

In questo caso, limitandosi al primo ottante, una parametrizzazione piuttosto agevole si ottiene mediante le coordinate cilindriche:

$\{(x=\rhocos\theta),(y=\rhosin\theta),(z=t):} rarr$

$rarr [\rho^2+t^2=1] ^^ [\rho^2-\rhocos\theta=0] rarr$

$rarr [\rho^2+t^2=1] ^^ [\rho-cos\theta=0] rarr$

$rarr [t=sqrt(1-\rho^2)] ^^ [cos\theta=\rho] rarr$

$rarr \{(x=\rho^2),(y=\rhosqrt(1-\rho^2)),(z=sqrt(1-\rho^2)):}$

Ad ogni modo, non sono sicuro che tu fossi interessato a questo.
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Re: Intersezione sfera - cilindro (Finestra di Viviani)

Messaggioda Flamber » 25/04/2020, 15:37

Sergeant Elias ha scritto:Ad ogni modo, non sono sicuro che tu fossi interessato a questo.


Si è No, ma non potevi saperlo perché ci stavo arrivando per gradi, tentando di risolvere l’esercizio da me tra un chiarimento e l’altro :D

Nel senso che adesso dovrei calcolare, come nel primo esempio, il volume compreso tra la semisfera e il cilindro, questa volta però traslato sul bordo della sfera, in modo che l’intersezione sia la finestra di viviani.
Però ho proprio difficoltá ad impostare l’integrale. Integrare per strati mi sembra proibitivo, e stessa cosa, per fili. Hai qualche suggerimento (anche senza calcoli, giusto un hint sulla possibile soluzione) ?
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Re: Intersezione sfera - cilindro (Finestra di Viviani)

Messaggioda pilloeffe » 25/04/2020, 15:46

Ciao Flamber,
Flamber ha scritto:[...] se la sfera fosse $ x^2⋅y^2⋅z^2=3 $ e [...]

Questa non è l'equazione di una sfera, casomai è $ x^2 + y^2 + z^2=3 $
Guardando l'ultimo disegno che hai proposto mi pare più conveniente considerare l'equazione della sfera $x^2 + y^2 + z^2 = 4a^2 $ ed il cilindro di equazione $(x - a)^2 + y^2 <= a^2 $
Come ti ha già fatto osservare Sergeant Elias per ragioni di simmetria sarà sufficiente calcolare 4 volte il volume contenuto nel primo ottante. Dal grafico che hai proposto si può considerare come dominio d’integrazione il semicerchio individuato dal cilindro sul piano $(x, y) $ ossia

$ D := {(x, y) \in \RR^2 : (x - a)^2 + y^2 <= a^2; y >= 0} $

mentre come funzione possiamo considerare la semisfera di equazione

$z = f(x, y) = \sqrt{4a^2 - x^2 - y^2} $

Ciò detto per determinare il volume richiesto occorre calcolare l’integrale seguente:

$V = 4\int\int_D \sqrt{4a^2 - x^2 - y^2} \text{d}x\text{d}y $

Come ti ha già suggerito Sergeant Elias per risolvere tale integrale conviene passare in coordinate polari centrate nell’origine.
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Re: Intersezione sfera - cilindro (Finestra di Viviani)

Messaggioda Flamber » 26/04/2020, 12:06

Si, perfetto, mi sono reso conto di un errore davvero banale che stavo facendo. Essenzialmente guardando il dominio di integrazione sul piano $xy$, è un cerchio di raggio 2 meno un cerchio di raggio 1 tangente al cerchio più grande. Per qualche strano motivo ero convinto che la proiezioni della finestra di Viviani sul piano fosse qualcosa di più complicato di una circonferenza. Grazie ad entrambi!
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