Due domande su un vecchio post (dimostrazione sul limite)

Messaggioda alterbi » 26/04/2020, 09:40

Vorrei chiedere una domanda base che origina dalla lettura di un vecchio post https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6#p8424287

Nel post segnato l'utente dà la definizione di immagine

l'immagine è il sottoinsieme del codominio data dagli elementi che soddisfano la seguente:

sono gli elementi $y\inB$ tali che esiste una $x\inA$ tale che $y=f(x)$
ove siano A dominio e B codominio.


E @gugo aiuta interpretandola pragmaticamente:

Cosa significa in pratica?
Beh, significa che $y in text(Im)f sub B$ se e solo se l’equazione $f(x) = y$ nell’incognita $x$ ha almeno una soluzione in $A$.


Noto quindi che il "tale che" viene letto come un "se e solo se".Ma èquesto il significato del tale che?
Non riesco bene a capire questo operatore logico appieno, e non vorrei fare errori base su questo.

Grazie a chi interverrà:)
Ultima modifica di alterbi il 26/04/2020, 22:18, modificato 1 volta in totale.
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Re: Dubbio sul "tale che"

Messaggioda LoreT314 » 26/04/2020, 10:47

No, lì non sta dicendo che è equivalente ad un se e solo se, sta scrivendo la stessa cosa in modo alternativo.
Uno diceva $Im f={y in B:EE x in A : y=f(x)} $ dove con : indico il tale che.
Gugo invece diceva
$ y in Imf hArr f(x)=y$ ha un'unica soluzione.
In generale per caratterizzare un insieme dici $A={x:P(x)}$, dove $P(x) $ è un predicato nella variabile libera x (tipo $x>1$) Oppure di solito il tale che sta dopo $EE$, tipo nella definizione di limite
$ AA epsilon>0, EE delta>0$ tale che ecc
Il se e solo se serve per dire che due affermazioni sono equivalenti.
Tipo $x>0 hArr - x<0$. Oppure $y in A hArr P(x) $
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Re: Dubbio sul "tale che"

Messaggioda alterbi » 26/04/2020, 19:32

Grazie per il tuo aiuto.

LoreT314 ha scritto:Uno diceva $Im f={y in B:EE x in A : y=f(x)} $ dove con : indico il tale che.
Gugo invece diceva
$ y in Imf hArr f(x)=y$ ha un'unica soluzione.
In generale per caratterizzare un insieme dici $A={x:P(x)}$, dove $P(x) $ è un predicato nella variabile libera x


Ok, ci sono sul senso, però mi pare che se posso scrivere in due modi diversi la stessa proprietà è come dire che il "tale che" posso leggerlo come "se e solo se". Mi sfugge questa cosa, scusami la stupidità :(
In pratica: $Im f={y in B:EE x in A : y=f(x)} $ è l'insieme e in particolare $y\inImf$ se è una $y in B:EE x in A : y=f(x)$ ossia $ y in Imf hArr f(x)=y$ ha un'unica soluzione. In questo senso intendevo il rileggere il tale che come un se e solo se.

[Edit]
Forse ci sono, vediamo:
Dato l'insieme $Im f={y in B:EE x in A : y=f(x)} $ ora: $y\inImf <=> y in B:EE x in A : y=f(x)$ ossia $ y in Imf hArr f(x)=y$ ha un'unica soluzione.

In pratica è tutto questo 'paragrafo': "$y in B:EE x in A : y=f(x)$" riassunto in questo: "f$(x)=y$ ha un'unica soluzione"

Giusto @Lore? :oops:
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Re: Dubbio sul "tale che"

Messaggioda gugo82 » 26/04/2020, 19:57

Già. :wink:
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Re: Dubbio sul "tale che"

Messaggioda alterbi » 26/04/2020, 22:17

gugo82 ha scritto:Già. :wink:


Grazie grazie grazie!! :)

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Potrei disturbarvi con un'altra domanda sempre sul post linkato? Per non aprire un'altra discussione mi sono permesso di rinominare il thread perché credo sia meglio per futuri lettori e mantenere ordine in questo formidabile forum (allitterazione non voluta :-D ).

Purtoppo mi sono accorto del dubbio solo dopo, la domanda è questa... Ho visto che la conclusione della dimostrazione è questa: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8424332 ed ho capito che in effetti per ogni $y$ fissato $y/c$ permette ancora di risolvere $f(x)$ essendo $y>=0$.

C'è però un punto che non mi è chiaro, ossia: se io ho la variabile $z$ che assume valori in $[0,+oo[$ come dimostro che $z/c$ (con c costante maggiore di zero) assume tutti i valori tra$[0,+oo[$?
Lo vedo bene intuitivamente,ma formalmente come lo posso dimostrare? Non ci riesco proprio :(
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Re: Due domande su un vecchio post (dimostrazione sul limite)

Messaggioda gugo82 » 26/04/2020, 23:26

A parte che non ti serve, ma comunque... Prova.
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Re: Due domande su un vecchio post (dimostrazione sul limite)

Messaggioda alterbi » 27/04/2020, 12:01

No, certo, in realtà non serve. Però mi è venuto questo ulteriore dubbio e ammetto che non saprei da dove iniziare. :|
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Re: Due domande su un vecchio post (dimostrazione sul limite)

Messaggioda gugo82 » 27/04/2020, 12:19

Innanzitutto, cosa vuoi dimostrare?
Scrivilo per bene, usando i quantificatori.

Ti apparirà tutto più chiaro (sperabilmente).
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Re: Due domande su un vecchio post (dimostrazione sul limite)

Messaggioda alterbi » 28/04/2020, 09:36

[correggo messaggio di ieri per errore di battitura]

Mi sembra che io abbia:

Per HP: $\AAx\in[0,+oo[$
TH: Esiste un $x'=x/c$ (con $c>0$) $:x'\in[0,+oo[$

Ossia in modo compato devo dimostrare che: $AAx\in[0,+oo[$, $EEx'=x/c$ (con $c>0$) $:x'\in[0,+oo[$

Il che mi sembra sempre valido per il 2^ principio di equivalenda delle equazioni: se prendo $x=c*x'$ esso è sicuramente positivo (sta nell'HP) e posso dividere per tale c portandomi a $x'=x/c$.

1) Però non capisco se questa sia una dimostrazione: mi sembra qualcosa di sempliciottoe alla buona, in primis.
2) E in secondo luogo mi pare di dimostrare che ogni x trovo un x' contenuto in quell'intervallo indicato, tuttavia non mi pare di mostrare che lo copro tutto:perché è vero che per ogni x troverò un x' però chi mi dice che al limite a infinito di x esso coincida allo stesso limite a infinito per x' (cioè che x' vada a coprire tutto). (Non so come dirlo bene a parole, ma immaginando infinito come un punto non riesco a capire se quando x ci arriva anche x' ci arrivi comprendo lo stesso intervallo)

Spero davero in un aiuto a capire questi due punti, perché è un dubbio che trovo spesso nello studio ultimamente.
Ultima modifica di alterbi il 28/04/2020, 11:15, modificato 1 volta in totale.
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Re: Due domande su un vecchio post (dimostrazione sul limite)

Messaggioda gugo82 » 28/04/2020, 09:59

Prova a rileggere con attenzione la tua tesi: è davvero quello che vuoi dimostrare?

Ovviamente, se sbagli a formalizzare la tesi non riesci a capire come fare una dimostrazione... Il problema è lì (per adesso).

Propongo una dimostrazione qui di seguito:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Quello che vuoi dimostrare è che, se $c>0$, allora al variare di $z>0$ il rapporto $z/c$ assume tutti i valori $>0$, cioè che:
\[
\forall \zeta >0,\ \exists z >0 :\quad \zeta=\frac{z}{c}\; .
\]
Ma questo è banale: infatti, scelto arbitrariamente $zeta >0$ il numero $z=c zeta$ (che si ottiene formalmente risolvendo l'equazione $z/c=zeta$ rispetto a $z$) è positivo (per Regola dei Segni) e tale che $z/c = (c zeta)/c = zeta$ (per regolette algebriche fondamentali); l'arbitrarietà nella scelta di $zeta$ fa sì che tu possa riprodurre lo stesso discorso per ogni $zeta >0$ e quindi sei a cavallo. :wink:

E sai dimostrare che il numero $z$ determinato sopra è anche unico?
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