Se una successione è divergente è illimitata

Ciao, un esercizio chiede di stabilire se l'affermazione:

Se una successione $a_n$ è divergente allora è illimitata

L'affermazione è vera.
Sui libri però trovo la definizione di successione limitata
\[
\exists m,M\in R : m\leq a_n\leq M, \forall n\in N
\]
per ogni $n$ per cui la successione è definita. Non viene fornita quella di successione illimitata.
La successione
\[
a_n=(-1)^n\cdot n
\]
è illimitata superiormente e inferiormente ma non ammette limite. Quindi la definizione di successione illimitata non coincide con quella di limite di $a_n$ è $+\infty$
\[
\forall M>0, \exists v\in N : a_n>M, \forall n\geq v
\]
oppure limite di $a_n$ è $-\infty$?
\[
\forall M>0, \exists v\in N : a_n<-M, \forall n\geq v
\]
Qual è allora la definizione di successione illimitata con i simboli?

Per la definizione di illimitata basta negare la definizione di limitata (sei capace? È molto utile saperlo fare perché questa cosa ricorre spesso in molte dimostrazioni).
Diventa quindi $AA m,M in RR... $continua tu.
Poi come tu giustamente fai notare dire che una successione è illimitata non è equivalente a dire che è divergente (quindi chiaramente le definizioni devono essere diverse).
Infatti tutte le successioni divergenti sono illimitate ma non è vero il viceversa.

Per la definizione di illimitata basta negare la definizione di limitata (sei capace? È molto utile saperlo fare perché questa cosa ricorre spesso in molte dimostrazioni).
Diventa quindi $AA m,M in RR... $continua tu.

Negando la definizione di limitata
\[
\forall M,m\in R, \exists v\in N : a_n<m \vee a_n > M, \forall n\geq v
\]
è corretta?

Le definizioni... Usarle o ragionarci su non è un peccato capitale.

Cosa significa che una funzione a valori reali è limitata?
E cosa che non è limitata inferiormente? E superiormente?
E quando non è limitata?
E cosa accade se la funzione è una successione? Come si modificano le definizioni?