Soluzione integrale

Messaggioda mat5teo » 26/04/2020, 11:40

Salve, qualcuno mi potrebbe aiutare a risolvere il seguente integrale?
$ int d^3r x^2 exp(-ar^2) $
a>0
$ r^2=x^2+y^2+z^2 $
mat5teo
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Re: Soluzione integrale

Messaggioda Mephlip » 26/04/2020, 13:29

Senza l'insieme di integrazione non possiamo aiutarti.
Mephlip
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Re: Soluzione integrale

Messaggioda pilloeffe » 26/04/2020, 14:24

Ciao mat5teo,

Eh beh, ha ragione Mephlip... :wink:
Se però come credo, visto ciò che hai detto che stai studiando, l'integrale triplo è su $\RR^3 $ allora dovresti riuscire a trovare ciò che ti serve qui.
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Re: Soluzione integrale

Messaggioda mat5teo » 28/04/2020, 15:55

Il dominio di integrazione è $ R^3 $
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Re: Soluzione integrale

Messaggioda pilloeffe » 28/04/2020, 22:43

Lo immaginavo, quindi l'integrale proposto è il seguente:

$ \int_{\RR^3} \text{d}^3r x^2 exp(-ar^2) = \int_{\RR^3} x^2 exp(- ax^2 - ay^2 - az^2) \text{d}x\text{d}y\text{d}z = $
$ = \int_{\RR} x^2 exp(-ax^2) \text{d}x \int_{\RR} exp(-ay^2)\text{d}y \int_{\RR} exp(-az^2) \text{d}z = $
$ = 1/(2a) sqrt{\pi/a} \cdot sqrt{\pi/a} \cdot sqrt{\pi/a} = \pi/(2a^2) sqrt{\pi/a} $
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