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Salve, ho un problema con questa equazione con numeri complessi: $ z|z|-2z+i=0 $ .
L'ho risolta inizialmente utilizzando la forma algebrica: ovvero imponendo $ z=x+iy $ , così facendo riesco a trovare le due soluzioni $ z=i $ e $ z = i(−1 −√2) $ . Il problema è che provando a risolverla utilizzando la forma esponenziale: $ z=rho e^(ivartheta ) $ e $ |z|=rho $ riesco a trovare soltanto la seconda soluzione $ z = i(−1 −√2) $ ma non la prima $ z=i $. In pratica dopo aver effettuato le sostituzioni per passare alla forma esponenziale mi ritrovo questa equazione $ e^(ivartheta )(rho ^2-2rho )=e^(i3/2pi) $ . Successivamente impongo che si verifichino le seguenti condizioni per soddisfare l'uguaglianza: $ rho ^2-2rho -1=0 $ e $ vartheta =3/2pi+2kpi $ . Risolvendo ottengo $ rho=1+sqrt(2) $ e $ vartheta =3/2pi $ da cui segue appunto la seconda soluzione; ma come dicevo all'inizio non riesco a ricavare anche la prima. Sarei grato se qualcuno riuscisse a dirmi dove sbaglio.

Basta osservare che:

Grazie mille, non ci avevo pensato. A dir la verità non ci sarei mai arrivato. Perché di solito utilizzando la forma esponenziale mi riconduco sempre ad un sistema di due equazioni, di cui una sul modulo $ rho $ e una sull'angolo del tipo $ n*vartheta = angolo + 2kpi $ (in questo caso $ n=1 $ e $ angolo=3/2pi $ ), e sostituendo con $ k=1,2,... $ riesco a trovare tutte le soluzioni.

Sinceramente non riesco a capire perché in questo esercizio non accada la stessa cosa.

Stain ha scritto:Sinceramente non riesco a capire perché in questo esercizio non accada la stessa cosa.

Perché il procedimento generale è più articolato. Se vuoi procedere meccanicamente:




In questo caso:

Ok adesso è tutto molto più chiaro. Grazie ancora per la chiarezza e per la disponibilità!