sistemi dinamici

Messaggioda Damiano77 » 26/04/2020, 17:38

Buongiorno,
Spero che la sezione sia quella giusta. Sono uno studente delle superiori e recentemente la professoressa ci ha inviato un video sul modello preda-predatre. Ho voluto approfondire un po'.
Sono partito dal sistema seguente
$dx/(dt)=ax-bxy$
$dy/(dt)=-cy+dxy$
Dopo aver linearizzato nel punto d'equilibrio $(c/d,a/b)$ ho ottenuto
$dx/(dt)=-bc/d(y-a/b)$
$dy/(dt)=da/b(x-c/d)$
Ricavando la y dalla prima e sostiuendola nella seconda, ho ottenuto
$(d^2x)/(dt)^2+acx=c^2a$
Analogamente
$(d^2y)/(dt)^2+acy=c/d$
Il mio obiettivo era quello di dimostrare che l'evoluzione del sistema attorno al punto d'equilibrio fosse definita da traiettorie chiuse. Ho letto su Wikipedia che i moti di x e y sono armonici. Ho pensato che sarebbe stato perfetto arrivare a verificare l'armonicità dei moti e concludere che le traiettorie sono chiuse perchè sono composizione di moti armonici. Però le equazioni trovate non sono quelle di un moto armonico (i secondi membri dovrebbero essere uguali a zero). Ma allora sono moti anarmonici? Il problema è che su Internet non ho trovato da nessuna parte un'equazione simile a quella che ho ottenuto io per un moto anarmonico. E a questo punto... la composizione di moti anarmonici è sempre una traiettoria chiusa?
Si potrebbe dimostrare in altro modo che le traiettorie sono chiuse o per me risulterebbe eccessivamente complicato (frequento ancora le superiori).
Grazie in anticipo a chi risponderà

PS Sono già arrivato all'equazione delle traiettorie per integrazione (nel caso ve lo steste chiedendo), ma di fatto non so se un'equazione del genere definisca traiettorie chiuse o no al variare della costante di integrazione.
Damiano77
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Re: sistemi dinamici

Messaggioda pilloeffe » 26/04/2020, 22:04

Ciao Damiano77,

Si tratta delle equazioni di Lotka-Volterra, puoi dare un'occhiata qui oppure anche alla versione inglese (più curata soprattutto nella parte bibliografica) qui.

Preciso comunque che l'argomento proposto non mi pare proprio da scuola superiore... :wink:
pilloeffe
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