Intergale Triplo - Baricentro

Ho calcolato questo baricentro, ma non sono convinto del risultato:

$D = {(x,y,z) in RR^3: x^2+y^2+z^2<=3 ; z>=0; 1/3(x^2+y^2) <= z^2 <= 3(x^2+y^2)}$

La prima condizione rappresenta l'interno di una sfera di raggio $sqrt(3)$.

si tratta di un solido di rotazione, quindi, per capire meglio la terza condizione ho visto cosa succede sul piano yz (cioè per $z=0$), solo per le y positive

$1/sqrt(3)y<=z<=sqrt(3)y$



dove $\theta1 = pi/6$ e $\theta_2=pi/3$

Il solido in 3D dovrebbe essere qualcosa del genere:



Per simmetria sono sicuro che il baricentro deve appartenere all'asse z, quindi, in coordinate polari calcolo:

$Vol(D) = intintint_Ddxdydz = int_0^sqrt(3)\rho^2d\rho*int_(pi/6)^(pi/3) sin\theta d \theta*int_0^(2pi) d\varphi = pi(3-sqrt(3))$

poi ho calcolato:

$intintint_Dzdxdydz =int_0^sqrt(3)int_(pi/6)^(pi/3)int_0^(2pi)\rho^3cos\thetasin\thetad\varphid\theta\rho = 9/4*1/4*2pi=9/8pi$

quindi il baricentro sarà in $G=(0,0,9/(8*(3-sqrt(3))))$

Questo risultato non mi convince del tutto, è possibile che sia in quella posizione? mi sembra un pò troppo "basso" come baricentro
$9/(8*(3-sqrt(3))) =0,887...$

A me non sembra basso. Il punto più alto di quel solido è per z=3/2=1.5, quindi 0.8 mi pare un baricentro appropriato.