$D = {(x,y,z) in RR^3: x^2+y^2+z^2<=3 ; z>=0; 1/3(x^2+y^2) <= z^2 <= 3(x^2+y^2)}$
La prima condizione rappresenta l'interno di una sfera di raggio $sqrt(3)$.
si tratta di un solido di rotazione, quindi, per capire meglio la terza condizione ho visto cosa succede sul piano yz (cioè per $z=0$), solo per le y positive
$1/sqrt(3)y<=z<=sqrt(3)y$
dove $\theta1 = pi/6$ e $\theta_2=pi/3$
Il solido in 3D dovrebbe essere qualcosa del genere:
Per simmetria sono sicuro che il baricentro deve appartenere all'asse z, quindi, in coordinate polari calcolo:
$Vol(D) = intintint_Ddxdydz = int_0^sqrt(3)\rho^2d\rho*int_(pi/6)^(pi/3) sin\theta d \theta*int_0^(2pi) d\varphi = pi(3-sqrt(3))$
poi ho calcolato:
$intintint_Dzdxdydz =int_0^sqrt(3)int_(pi/6)^(pi/3)int_0^(2pi)\rho^3cos\thetasin\thetad\varphid\theta\rho = 9/4*1/4*2pi=9/8pi$
quindi il baricentro sarà in $G=(0,0,9/(8*(3-sqrt(3))))$
Questo risultato non mi convince del tutto, è possibile che sia in quella posizione? mi sembra un pò troppo "basso" come baricentro
$9/(8*(3-sqrt(3))) =0,887...$
