Punti di non derivabilità

[Daken97]

Salve a tutti, avrei un dubbio da risolvere riguardo ai punti di non derivabilità. Dunque, supponiamo di aver calcolato la funzione derivata, e di aver scoperto dei punti che, pur appartenendo al dominio della funzione "originaria", sono esclusi da quello della funzione derivata; per capire se i punti in questione, sono punti di non derivabilità, devo per forza calcolare il limite destro e sinistro del rapporto incrementale? Oppure posso calcolare il limite direttamente nella funzione derivata? Ciò che non riesco a capire, è se le due strade sono equivalenti, oppure portano ad un risultato differente (e quindi, la seconda è errata, dato che so che la prima è sicuramente giusta).

[gugo82]

Medita sulle funzioni:
\[
f(x):=\begin{cases} 0 &\text{, se } x \neq 0\\ 1 &\text{, se } x=0\end{cases}\qquad \text{e}\qquad g(x):=\begin{cases} x^2\sin \frac{1}{x} &\text{, se } x \neq 0\\ 0 &\text{, se } x=0\end{cases}\;.
\]

[Daken97]

Medita sulle funzioni:
\[
f(x):=\begin{cases} 0 &\text{, se } x \neq 0\\ 1 &\text{, se } x=0\end{cases}\qquad \text{e}\qquad g(x):=\begin{cases} x^2\sin \frac{1}{x} &\text{, se } x \neq 0\\ 0 &\text{, se } x=0\end{cases}\;.
\]

Sì, il limite della derivata della seconda funzione non esiste, mentre in realtà le funzioni sono derivabili in un "punto critico". Però la mia domanda era riferita sostanzialmente a casi in cui i limiti della derivata esistono (finiti o infiniti). E a proposito di questo, sono riuscito a trovare un teorema che ha chiarito ogni mio dubbio.

[dissonance]

Che teorema hai trovato, scusa se te lo chiedo? Gli esempi di Gugo sono "LA" risposta alla tua domanda. Faccio osservare che nel primo esempio di Gugo il limite della derivata esiste eccome.

[Daken97]

Che teorema hai trovato, scusa se te lo chiedo? Gli esempi di Gugo sono "LA" risposta alla tua domanda. Faccio osservare che nel primo esempio di Gugo il limite della derivata esiste eccome.

Su questa dispensa, viene enunciato e dimostrato il "teorema del limite delle derivate".

https://paola-gervasio.unibs.it/Analisi1/cap6c_s.pdf

In realtà, fra le ipotesi c'è pure il fatto che la funzione debba essere continua in X0, e non è il nostro caso, dato che in x=0 non lo è. Ergo, tutto torna, dal momento che le funzioni in questione, la prima per una ragione e la seconda per un'altra, non rispettano le ipotesi valide per l'applicazione di quel teorema. Fra l'altro, se una funzione non è continua in x0, si può concludere subito che non è nemmeno derivabile in quel punto.

[gugo82]

Appunto.

E la morale generale è: quando non sai cosa fare, non fare il limite delle derivate, ma usa la definizione (i.e., vedi se esiste il limite del rapporto incrementale).

[gugo82]

Bump per quale ragione?

[dissonance]

@Daken97: ma perché continui a fare "bump" di questa domanda? Che altro vuoi sapere?

[Daken97]

@Daken97: ma perché continui a fare "bump" di questa domanda? Che altro vuoi sapere?

Credo che abbia premuto involontariamente qualche tasto, perdonatemi... per me questo topic è chiuso.

P.s. Dissonance, se ti interessa, ne ho aperto un altro, riguardo alla continuità delle funzioni e ad un particolare limite.