Tre brevi domande sulle serie

Messaggioda alterbi » 29/04/2020, 14:11

Ciao, mi piacerebbe tediarvi (sì, sono sadico :P) con tre domande che mi sono sorte leggendo il forum -prassi ormai quotidiana- attività che svolgo giusto per crearmi dubbi (sì, sono anche masochista :lol:).
Ci sto ragionando da un po' ma non riesco bene a uscirne con gli strumenti che ho, credo di fare qualche errore e vorrei giungere a una dimostrazione sicura.

A parte gli scherzi, passando alla questione del post:

1) La prima domanda che mi pongo è se il principio di equivalenza dei polinomi sia valido anche per serie, ossia date due serie del tipo: $\sum_(n=0)^ooa(n)x^n$ e $\sum_(n=0)^oob(n)x^n$ esse sono uguali se e solo se $a=b$?
In prima istanza mi verrebbe da dire: sì, perché il principio di equivalenza di polinomi vale per ogni "n" (a potenza), dunque data l'arbitrarietà dell'n scelto varrà per infiniti valori di n.

2) Tuttavia credo sia sbagliata la precedenete conclusione/dimostrazione e da qui discende la seconda domanda: se così fosse, che una proprietà dimostrata valida per ogni n vale al tendere n a infinito delle somme parziali, allora potrei concludere che "dato che in una somma di qualsiasi termini $a_n$ ho commutatività, e preso n arbitrariamente, allora la commutatività della serie vale (essendo valido per ogni n quindi infiniti n qualsiasi). Ma questo è notoriamente falso (so che vale il teorema di Riemann-Dini).

Devo capire, e credo qui sia il dubbio comune del punto 1) e 2), se io ho una proprietà valida per ogni $n$; ossia posso dimostrare che valga per ogni n, vuol dire che vale per $n->oo$?

3) La terza domanda non c'entra molto con le precedenti e mi è sorta leggendo a proposito dellaserie di Taylor ma non è direttamente correlata. E' piuttosto una domanda sulle derivate, vediamo: se io ho due funzioni distinte $f(x)$ e $g(x)$ e per tali funzioni la k-esima derivata coincide sempre per ogni k $f^k(x)=g^k(x)$, allora $f(x)=g(x)$?
E' una supposizione non so se sia vero: vorrei diciamo dimostrare che sia vero o falso quanto affermo.

Scusate il disturbo
alterbi
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Re: Tre brevi domande sulle serie

Messaggioda 3m0o » 29/04/2020, 19:19

1) Devo pensarci un attimo e non ho troppo tempo ora.

2) Se hai una proprietà \(P(n) \) che vale per ogni \(n \in \mathbb{N} \) non implica che la proprietà \(\lim_{n\to \infty} P(n) \) sia vera.
Di controesempi ne esistono moltissimi. Proprio come dici te, la commutatività dei termini nelle somme parziali non cambia il risultato della somma, ma commutare termini in una serie può cambiare tutto.
Oppure prendi
\[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}\]
Per ogni \( n \in \mathbb{N} \) abbiamo che \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}\) non è un intero, ma per \(n \to \infty \) abbiamo che è un intero. Oppure ancora
\[ \bigcup_{k=3}^{n} [1/k,1-1/k] \]
è un insieme chiuso per ogni \(n \in \mathbb{N} \) ma è falso che \[ \lim_{n\to \infty} \bigcup_{k=3}^{n} [1/k,1-1/k] = (0, 1) \]
è chiuso.

Per 3) è sbagliato. In primo luogo se parti dal ipotesi che \( f \) e \( g \) sono distinte non puoi arrivare alla conclusione che \( f= g \), ci sarebbe un problema, non pensi?
Quindi sarebbe meglio formulare la tua ipotesi così
Date due funzioni \( f, g \) tale che per ogni \(k \) abbiamo che \( f^k = g^k \), dove con \( f^k \) denoto la \(k\)-esima derivata è vero che \( f= g \)?
La risposta è no! Prova a pensare ad un contro esempio.
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Re: Tre brevi domande sulle serie

Messaggioda anto_zoolander » 29/04/2020, 20:05

La prima è "si"
Da un lato è banale( $a=b$)
Dall'altro: deriva $k$ volte le serie e valutale in $x=0$, ti verrà $a_k*k! = b_k * k! $ per ogni $k$. Cosa ne tiri fuori?
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Re: Tre brevi domande sulle serie

Messaggioda 3m0o » 29/04/2020, 20:42

Vero, bravo anto! Cercando un legame tra la tua prima domanda e la serie di Taylor, per collegarmi alla terza domanda, quello su cui inizialmente mi stavo impappinando (e che è falso), è che se hai una funzione \( f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) \) e consideri la seguente serie di potenza
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \]
Supponi che questa serie di potenza converge ad una certa funzione \( g \) su \( (-R,R) \), con \(R >0 \), in generale è falso che \( f= g \) su \( (-R,R) \).

Prendi ad esempio \[f(x) := \left\{\begin{matrix}
e^{-1/x^2}& \text{se} & x \neq 0 \\
0 & \text{se} & x=0
\end{matrix}\right.\]
Abbiamo che \( f(0)=0 \) e inoltre per ogni \( f^{(k)}(0) = 0 \) per ogni \( k \in \mathbb{N}\), dunque la serie associata converge verso \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \( x \mapsto 0 \). Infatti
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k = 0 \]
per ogni \( x \in \mathbb{R} \), ma chiaramente la funzione \( g \neq f \).
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Re: Tre brevi domande sulle serie

Messaggioda alterbi » 29/04/2020, 23:05

Rispondo ad entrambi ringraziandovi, poiché vorrei capire di più e sono proprio poco ferrato.

@3m0o per i punti:
2) Ho capito il tuo controesempio e direi nulla da ridire. Però intuitivamente non riesco ad afferrare perché se dimostro (ad es. potrei farlo per induzione) che una proprietà vale per ogni n non sia uguale all'affermare che vale per infinite n. Intendo dire che se una proprietà vale per "tutte le n" perché non vale per una infinità di n? Non capisco in quale "tranello caschi" con l'intuizione, ossia la sottile (forse nemmeno troppo sottile) differenza :D.
Domanda bonus:
è falso che $ \lim_{n\to \infty} \bigcup_{k=3}^{n} [1/k,1-1/k] = (0, 1) $è chiuso.

Questo non l'ho capito, perdonami... a me sembra proprio [0,1] :oops:.

3) Sì, ho formulato male ma la domanda era quella. Così su due piedi direi che se ho: $f(x)$ e $g(x)=f(x)+c$ in generale è vero che hanno tutte le derivate uguali, ma $f(x)!=g(x)$.
Mi sforzavo a mostrare fosse vero, ma in fin dei conti era più facile trovare questo controesempio, giusto?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per quanto riguarda il tuo ultimo post mi ero incasinato anche io partendo da Taylor in un modo simile e mi ero intortato veramente tantissimo! XD DIrei che l'esempio è illuminante.


@anto ho due domande anche per te :P (così potrai odiarmi)
1) a)
Da un lato è banale( a=b)
questa affermazione non l'ho capita
b)
anto_zoolander ha scritto:Dall'altro: deriva $ k $ volte le serie e valutale in $ x=0 $, ti verrà $ a_k*k! = b_k * k! $ per ogni $ k $. Cosa ne tiri fuori?

- Non ho capito perché valutarla in x=0, allafine alla k-esima derivata non dovrei "eliminare la x", essa mi diventa 1 perché derivo $x^1$. Non credo di aver capito l'utilità di doverla valutare in zero.
- L'altra cosa che non ho capito del procedimento è questo: $ a_k*k! = b_k * k! $ => $a_k = b_k$ ed è ok. Però qua mi pre di cadere nel tranello di prima, perché io dimostro che qualsiasi sia k mi riduco a $a_k = b_k$, ma la serie ha $k->oo$ e abbiamo appena detto poco sopra che non possiamo estendere il concetto "vale per ogni k = valeper k->oo al limite!". E con questo metodo mostro solo che vale per ogni k.

Devo ancora aggiustare queste 'cosette' prima di dire di aver capito :D
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Re: Tre brevi domande sulle serie

Messaggioda gugo82 » 30/04/2020, 00:45

La 1) è sicuramente vera a livello formale... Ed è vera pure a livello concreto: è il Principio di Identità delle Funzioni Analitiche (roba complessa... :lol: ).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Tre brevi domande sulle serie

Messaggioda 3m0o » 30/04/2020, 04:30

Per 3) esatto!

Per 2) la differenza tra una proprietà è vera \( \forall n \in \mathbb{N} \) e una proprietà è vera per \( n \to \infty \) è racchiusa nella seguente frase: \( \forall n \in \mathbb{N} \), \(n \) è finito! Mentre,detto in modo un po' brutale, \( \infty \not\in \mathbb{N} \).
Una volta lessi, non ricordo dove purtroppo, un'analogia con l'induzione e questa differenza. Immaginati un treno che da fermo in stazione si mette in moto. La locomotiva inizia a muoversi, ma nell'istante in cui la locomotiva si muove il primo vagone passeggeri è ancora fermo, solo dopo un istante la locomotiva tira il primo vagone che si muove anch'esso. Nell'istante in cui il primo vagone si muove il secondo vagone è ancora fermo, etc.
Ora immaginati un treno con tanti vagoni quanti sono i numeri naturali, e numerati nel seguente modo \(0 \) è la locomotiva, \(1\) il primo vagone, etc...
Supponiamo che se il vagone \( n \) si muove nell'istante \( t_n \) allora il vagone \(n+1 \) si muove nell'istante \( t_n + \epsilon = t_{n+1} \), ovvero un vagone ha un \( \epsilon \) di ritardo sul precedente. E supponiamo che nel tempo \( t_0 \) la locomotiva si muove.
Abbiamo che \( \forall n \in \mathbb{N} \) esiste un tempo \( t \in \mathbb{R} \) tale che il vagone \( n \) si muove.
Infatti nel tempo \( t_0 \) la locomotiva si muove.
Supponiamo vero che il vagone \( t_n \) si stia muovendo, abbiamo che dopo \( \epsilon \) il vagone \( n+1 \) si sta muovendo.
Ma non esiste alcun tempo in cui l'intero treno è in movimento, infatti ogni volta che un vagone inizia a muoversi c'è sempre almeno un vagone, il successivo, che è ancora fermo.
Infatti la differenza qui è la finitezza, ogni volta che hai un numero finito di passi, di vagoni, puoi arrivare alla fine, e dire che ad un certo punto non c'è più un vagone fermo. Mentre con un infinità di vagoni non c'è un ultimo vagone, quindi il treno intero non sarà mai in movimento.

Mi permetto a tal proposito di rispondere alla domanda che hai posto ad anto sul fatto che \( \forall k \in \mathbb{N} \) ottengo che \( a_k = b_k \), poi se anto o qualcun altro vorrà fare delle precisazioni o delle correzioni su quanto sto per dire, con piacere. In questo caso vero \( \forall n \in \mathbb{N} \) implica che è vero anche con \( k \to \infty \)
In primo luogo la scrittura
\[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \]
è un modo per dire
\[ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}a_k x^k \]

Se supponi che \( \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}a_k x^k =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}b_k x^k \) come ti ha mostrato anto_zoolander hai che per ogni \(k \in \mathbb{N} \) hai che \( a_k = b_k \). Il fatto è che le due successioni \( (a_k)_{k\in \mathbb{N}} \) e \( (b_k)_{k\in \mathbb{N}} \) sono indicizzate con indici \( k \in \mathbb{N} \) quindi dimostrare che per ogni \(k \in \mathbb{N} \) hai che \( a_k = b_k \) equivale a dimostrare che \( (a_k)_{k\in \mathbb{N}} \) e \( (b_k)_{k\in \mathbb{N}} \) sono la stessa successione.

Oppure puoi vederla nel seguente modo
Supponi che \( \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}a_k x^k =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}b_k x^k \) ma che le due successioni \( (a_k)_{k \in \mathbb{N}} \), \( (b_k)_{k \in \mathbb{N}} \) sono differenti.

Allora vuol dire che esiste un \( N \in \mathbb{N} \) minimale tale che \( a_N \neq b_N \), o detto in altro modo, tale che \( a_N \neq b_N \) e \( \forall 0 \leq k \leq N \) abbiamo che \( a_k= b_k \).
Ma \( N \) è finito e anto_zoolander ti ha dimostrato che \( \forall n \in \mathbb{N} \), quindi in particolare anche per \(N\), abbiamo che \( a_k = b_k \), quindi \( N \) non esiste e dunque le due successioni \( (a_k)_{k \in \mathbb{N}} \), \( (b_k)_{k \in \mathbb{N}} \) sono la stessa successione.

Usando l'analogia di prima, magari non precisissima, supponiamo che anto_zoolander abbia deciso di pitturare tutti i vagoni (inizialmente bianchi) di rosso, perché gli piace il rosso. Così inizia dalla locomotiva e uno dopo l'altro li colora tutti. Abbiamo la certezza che \( \forall n \in \mathbb{N} \) esiste un tempo \(t_n \) in cui l'\(n\)-esimo vagone è pitturato di rosso. Dopo molto tempo arrivo io e mi domando: è per caso possibile che anto abbia saltato qualche vagone lasciandolo bianco?
Beh se ne ha saltati alcuni ci dev'essere anche il primo vagone che ha lasciato bianco, diremo che questo è il vagone \(N\)-esimo. Ma questo \(N\) è finito e quindi so che al tempo \( t_N \) esso sarà colorato di rosso da anto. Quindi non ci può essere nessun vagone saltato, proprio perché è finito, c'è un ultimo vagone rosso prima di quello ipoteticamente "dimenticato" da anto, quindi posso controllarli tutti e verificare che effettivamente non l'ha dimenticato. Il treno ssarà interamente rosso ad un certo punto? No! Vi saranno sempre dei vagoni bianchi, che non ha ancora colorato, ma ciò non vuol dire che non saranno mai colorati, lo saranno tutti.
Sostanzialmente abbiamo la certezza che se il vagone \( n \) è rosso allora tutti i precedenti sono anch'essi rossi. E sappiamo che \( \forall n \in \mathbb{N} \) ci sarà un tempo \(t_n \) in cui l'\(n\)-esimo vagone sarà rosso, dunque abbiamo la certezza assoluta che nessun vagone sarà dimenticato da anto. Che è diverso dall'affermare che il treno è interamente colorato di rosso.

Per la domanda sul controesempio.
Dimostriamo che \[ \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] = (0,1) \]
per dimostrarlo dobbiamo dimostrare la doppia inclusione.
Precediamo con quella più facile, ovvero
\[ \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \subset (0,1) \]
Abbiamo infatti che preso \( x \in \bigcup_{k=3}^{n} [\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} ] \) allora vuol dire che esiste \( n \in \mathbb{N}_{\geq 3} \) tale per cui \( x \in [1/n,1-1/n] \) e dunque siccome \( [1/n,1-1/n] \subset (0,1) \) abbiamo che \( x \in (0,1) \).
Dimostriamo ora:
\[(0,1) \subset \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \]
abbiamo che per \( x \in (0,1) \) e poiché \( \mathbb{R} \) gode della proprietà di Archimede, deduciamo dunque che esiste \( n \in \mathbb{N}_{\geq 3} \) tale che \( 1/n < x \). Da qui ci sono due possibilità
Se \( x < 1- 1/n \) abbiamo finito perché \( x \in [1/n,1-1/n] \).
Se \( x > 1 - 1/n \), possiamo trovare \( m \) tale che \( x < 1- 1/m \) e dunque abbiamo che \( 1/m < 1/n < 1-1/n < x < 1-1/m \) e dunque \( x \in [1/m,1-1/m] \).
In entrambi i casi abbiamo trovato un \( n \in \mathbb{N}_{\geq 3} \) tale che \( x \in [1/n,1-1/n] \) e dunque \[ x \in \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \]

O alternativamente (come per i vagoni rossi, vedi sopra) se ti è chiaro che \( (0,1) \subset \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \) puoi anche dimostrare che \( 1 \not\in \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \), e in modo analogo poi anche lo \(0 \).

Se \( 1 \in \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \) allora per definizione esiste \( N \in \mathbb{N} \) tale che \(1 \in \left[\frac{1}{N} , 1 - \frac{1}{N} \right] \), ma per ogni \( N \in \mathbb{N} \) abbiamo che \( 1 > 1 - 1/N \) e pertanto \( \forall N \in \mathbb{N} \) abbiamo che \( 1 \not\in \left[\frac{1}{N} , 1 - \frac{1}{N} \right] \) dunque questo \(N\) non esiste e concludiamo che \[ 1 \not\in \bigcup_{k=3}^{\infty} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \]

Spero di essere stato chiaro e di non averti confuso ulteriormente con le mie analogie.
3m0o
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Re: Tre brevi domande sulle serie

Messaggioda alterbi » 30/04/2020, 10:28

@3m0o: Chapeau e soprattutto grazie per la pazienza di una così considerevole risposta. Complimenti anche alle tue notevoli capacità cognitive alle 4.30am, non credo di avere tale lucidità nemmeno alle 4.30pm lol.

A) Sostanzialmente l'errore che facevo riguardo quanto diceva anto è che in realtà io dimostro identici i termini generali della serie e solo DOPO mando al limite. L'identicità dimostrata (tramite il fatto di non aver trovato al finito un valore N che le renda diverse) per due 'oggetti' che poi mando al limite mi garantisce che siano identici "al limite" (ok in realtà c'è anche una sommatoria ma il senso mi pare questo, giusto?).

B) Tutto il resto è chiaro tranne un punto preciso
Abbiamo infatti che preso \( x \in \bigcup_{k=3}^{n} [\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} ] \) allora vuol dire che esiste \( n \in \mathbb{N}_{\geq 3} \) tale per cui \( x \in [1/n,1-1/n] \) e dunque siccome \( [1/n,1-1/n] \subset (0,1) \) abbiamo che \( x \in (0,1) \).

A me qui sembra che dimostriamo per ogni n, ma come detto (brutalmente) $n$ non appartiene a $NN$, ossia ho dimostrato che per ogni n è incluso ma non che sia incluso per $n->oo$ no?
Dovrei mandare al limite (infinito) il tutto per dimostrare che l'inclusione vale sull'unione (infinita), come dicevo in A) per le serie.

[EDIT]
Forse e dico forse ci sono, vediamo... vado per similitudine.
Il punto è che io dimostro come per le serie che: prendo x dentro a tale intervallo \( x \in \bigcup_{k=3}^{n} [\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} ] \), fatto ciò so che $[\frac{1}{n} , 1 - \frac{1}{n} ] \subset (0,1)$ e vedo che ogni $\bigcup_{k=3}^{n} [\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} ] \subset (0,1)$. A questo punto dovrei mandare al limite quelle che erano gli oggetti "successioni delle somme parziali", in tal caso: $lim_(n->oo)\bigcup_{k=3}^{n} [\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} ] \subset lim_(n->oo)(0,1)$.
Ossia in modo compatto:$\bigcup_{k=3}^{oo} [\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} ] \subset lim_(n->oo)(0,1)=(0,1)$.
Forse :roll:
[\EDIT]


Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Volevo uscire un attimo OT, più che altro perché sono stupito da come si possa avere così tanti controesempi in mente. Per quanto studi, mi impegni e ne veda a bizzeffe arriva un momento in cui li dimentico (bastano qualche settimana). Quello che vorrei chiederti è qualche dritta perché mi sento come bloccato. So che in realtà un controesempio non va RICORDATO... bensì ricavato, ma quale è il processo mentale che ti/vi porta a creare un controesempio? (vedi i molti sopra). Come si forgia una capacità del genere? Drammaticamente non ci riesco proprio!
alterbi
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Re: Tre brevi domande sulle serie

Messaggioda gugo82 » 30/04/2020, 11:28

Rispondo all'OT... Attenzione: spoiler!!!
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Si deve studiare seriamente per un bel po' di tempo.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Tre brevi domande sulle serie

Messaggioda anto_zoolander » 30/04/2020, 12:13

@3m0o
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
tranquillo in questo periodo sono molto pigro quindi mi fai un favore rispondendo al posto mio :lol:
Poi le tue sono risposte validissimenquindi tanto meglio :-D
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