Re: Tre brevi domande sulle serie

Messaggioda 3m0o » 30/04/2020, 13:17

alterbi ha scritto:A) Sostanzialmente l'errore che facevo riguardo quanto diceva anto è che in realtà io dimostro identici i termini generali della serie e solo DOPO mando al limite. L'identicità dimostrata (tramite il fatto di non aver trovato al finito un valore N che le renda diverse) per due 'oggetti' che poi mando al limite mi garantisce che siano identici "al limite" (ok in realtà c'è anche una sommatoria ma il senso mi pare questo, giusto?).

Esatto. Se le due successioni \((a_n)\) e \( (b_n) \) fossero differenti esisterebbe un indice finito in cui differiscono, ma dal momento che non esiste tale indice finito, allora è vero che sono uguali, sempre!

Per rispondere al perché una direzione è banale, ovvero a supporre \( a_n = b_n \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \), allora \( \sum_n a_n x^n = \sum_n b_n x^n \) per unicità del limite, stai supponendo che sono la stessa cosa.

E per rispondere per valutare in \( x= 0 \). Beh per verificare che \( a_0 = b_0 \) valuto in zero le serie e noto che
\[ \sum_{n=0}^{k} a_n (0)^n = a_0 = b_0 = \sum_{n=0}^{k} b_n (0)^n \]
Poi derivo e valuto in zero per trovare che \( a_1= b_1 \)
\[ \sum_{n=1}^{k} n a_n (0)^{n-1} = a_1 = b_1 = \sum_{n=1}^{k}n b_n (0)^{n-1} \]
poi derivo e valuto in zero per trovare che \( a_2= b_2 \)
\[ \sum_{n=2}^{k} n(n-1) a_n (0)^{n-2} = 2 a_2 = 2 b_2 = \sum_{n=2}^{k}n(n-1) b_n (0)^{n-2} \]
etc...


alterbi ha scritto:Forse e dico forse ci sono, vediamo... vado per similitudine.
Il punto è che io dimostro come per le serie che: prendo x dentro a tale intervallo \( x \in \bigcup_{k=3}^{n} [\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} ] \), fatto ciò so che $[\frac{1}{n} , 1 - \frac{1}{n} ] \subset (0,1)$ e vedo che ogni $\bigcup_{k=3}^{n} [\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} ] \subset (0,1)$. A questo punto dovrei mandare al limite quelle che erano gli oggetti "successioni delle somme parziali", in tal caso: $lim_(n->oo)\bigcup_{k=3}^{n} [\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} ] \subset lim_(n->oo)(0,1)$.
Ossia in modo compatto:$\bigcup_{k=3}^{oo} [\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} ] \subset lim_(n->oo)(0,1)=(0,1)$.
Forse :roll:

Si, anche se è molto più semplice di così, ho usato solo la definizione di unione e di inclusione! Senza preoccuparmi troppo cosa voglia dire \( n \to \infty \).
Anche qui comunque abbiamo che \( \bigcup_{k=3}^{\infty} [1/k , 1 - 1/k ] \) è un modo per dire \( \lim_{n\to \infty} \bigcup_{k=3}^{n} [1/k , 1 - 1/k ] \). Detto ciò

Prendiamo degli insiemi \( A_k \), \[ x \in \bigcup_{k=3}^{n} A_k = A_3 \cup \ldots \cup A_n \]
Per definizione di unione vuol dire che esiste almeno un indice \( 3 \leq j \leq n \) tale che \( x \in A_j \), può oppure può non essere incluso in tutti gli altri, ma deve esisterne almeno uno.
Allo stesso modo
\[ x \in \lim_{n\to \infty} \bigcup_{k=3}^{n} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \]
significa che esiste almeno un \( N \in \mathbb{N} \) tale che \( x \in \left[1/N , 1 - 1/N \right] \), questo insieme è totalmente contenuto in \( (0,1) \). E dunque \( x \in (0,1) \). E per arbitrarietà di \(x \) hai dimostrato l'inclusione. Per forza dev'essere così, infatti se fissiamo \(x \), diciamo che per \(N=5 \) ho che \( x \in [1/5, 4/5] \), poi chiaramente \( x \in [1/k, 1-1/k] \) per ogni \( k \geq 5 \), ma quello che a te interessa è che se \( x \in [1/5, 4/5 ] \) come può \( x \) non essere dentro a \( (0,1) \) ? E soprattutto puoi trovare un \(N \) finito per ogni \[ x \in \lim_{n\to \infty} \bigcup_{k=3}^{n} \left[\frac{1}{k} , 1 - \frac{1}{k} \right] \]
siccome è per definizione di unione che questo \(N \) esiste per ogni \(x \). E per ogni \( N \) finito hai che l'insieme \( [1/N, 1- 1/N] \subset (0,1) \) e pertanto abbiamo che anche per ogni \(x \) nell'unione \(x \in (0,1)\). Fine.

A scanso di equivoci "per ogni \(x\) " non ha a che fare con \(n\to \infty\), in primo luogo sto considerando un insieme che ha la cardinalità del continuo, comunque a priori non so cosa sia quell'insieme fatto dall'unione infinita e lo chiamo \( A \), ora per ogni elemento \(x \in A \), quindi so che vale per tutti gli elementi in \(A \), posso trovare un insieme della forma \( [1/n,1-1/n] \) che lo contiene, quindi per forza \( A \subset (0,1) \).

@alterbi
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rispondendo all'ot, io ho avuto la fortuna (o sfortuna :-D ) di aver avuto diversi professori che impostavano gli esami con esercizi "se vero dimostra se falso controesempio" e questo mi ha aiutato non poco a cercare controesempi. Comunque un buon allenamento in questo è, quando vedi un Teorema, togli un ipotesi e cerca un controesempio, e fallo per ogni ipotesi del teorema.


@anto
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Ecco allora ti ho risposto anche alle altre! :-D
Troppo gentile nel dire che sono validissime!
3m0o
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Re: Tre brevi domande sulle serie

Messaggioda alterbi » 30/04/2020, 13:39

Grazie a tutti per le risposte, molto gentili!

@3m0o grazie in particolare a te che mi hai aiutato molto in questo dubbio. Direi che non ho altre domande :)
alterbi
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