Dimostriamo che
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_x^{2x} e^{-t^2} \text{d}t = 0$$
Supponiamo $x>0$, allora per monotonia dell'esponenziale è $e^{-t^2} \leq e^{-x^2}$ e quindi
$$0 \leq \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_x^{2x} e^{-t^2} \text{d}t \leq \lim_{x \to \infty} e^{-x^2} =0$$
Dunque per il teorema dei due carabinieri il limite è $0$.
Mi è intuitivamente chiarissimo che, essendo $x \to \infty$, possiamo supporre $x>0$ perché siamo interessati a cosa succede "per valori di $x$ grandi e positivi"; tuttavia non saprei da dove dedurlo formalmente "in formule".
L'unica cosa che mi sembra riguardi la quantificazione di $x$ è nella definizione di limite per $x \to \infty$: infatti da essa c'è una quantificazione del tipo "$\exists M_{\varepsilon}>0$ tale che se $x>M_{\varepsilon}$", che in effetti porta a $x>M_{\varepsilon}>0$" e dunque $x>0$, ma a priori cosa mi assicura che in effetti quella condizione (c'è un "se") è verificata? Forse proprio il fatto che sto andando al limite per $x \to \infty$?
Spero di essermi spiegato, è una cosa che mi confonde abbastanza e quindi sicuramente anche la spiegazione del dubbio è confusa a sua volta. Grazie!
Edit: Rimossa una formula di troppo.