Ciao,
il libro "Esercitazioni di matematica 1/1", di Marcellini/Sbordone chiede di dimostrare la relazione:
\[
o(g(x))+o(g(x))=o(g(x))
\]
la soluzione proposta è di utilizzare due funzioni $f_1(x)=o(g(x))$ e $f_2(x)=o(g(x))$ tali che
\[
\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f_1(x)}{g(x)}}=\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f_2(x)}{g(x)}}=0
\]
allora $[f_1(x)+f_2(x)]/g(x)\rightarrow 0$ per $x\rightarrow x_0$ ...
Io invece ho utilizzato una sola funzione $f(x)=o(g(x))$ e sono giunto alla conclusione che
\[
2\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0
\]
che mi sembra riduttiva (quindi suppongo sbagliata). Sugli appunti della lezione dell'università ho trovato la dimostrazione di questa proprietà dell'o-piccolo con le successioni, fatta nel modo seguente
\[
o(a_n)+o(a_n)=o(a_n)
\]
si applica la definizione di o-piccolo
\[
\frac{o(a_n)+o(a_n)}{a_n}=\frac{o(a_n)}{a_n}+\frac{o(a_n)}{a_n}
\]
entrambi gli addendi sono successioni infinitesime quindi la proprietà è verificata. È corretta questa procedura?
Ho cercato sul libro di "Analisi I", di S. Lancelotti, ma la proprietà in oggetto viene lasciata come esercizio da dimostrare e anche nel tutorial di questo forum la dimostrazione è lasciata al lettore.