Matematicamente.it

Vorrei chiedere un aiuto su una domanda davvero semplice ma sono nuovo allo studio dell'analisi e volevo cercaare di risolvere la semplice EDO che ho imparato a fisica con quanto ho appena appreso dal corso di analisi.

Ho seguito la lezione del professore e mi pare di aver capito che è una equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti e del secondo ordine

Essendo $\ddot\x+\omega^2\dotx=0$

Mi scrivo il polinomio caratteristico e arrivo alla soluzione $x(t)=c_1e^(-\omega^2t)+c_2$, essendo $\lamda_1=\omega^2$ e $lambda_2=0$.

Ma da questa che ha forma esponenziale come arrivo a $x(t)=sin(\omegat+phi)$ che si ginge con la maniera semplice di trovare la derivata uguale a se stessa ma di segno opposto? Sì certo è vero che è la funzione trigonometrica coseno (o seno), ma ovviamente anche l'esponenziale funziona. Penso le due cose debbano coincidere ma non riesco amostrare che sia lo stesso risultato!

Vi prego, qualcuno potrebbe illustrarmi bene i passaggi, perché vorrei proprio capirlo. Purtroppo è una domanda che mi sono fatto da solo quella di volerla risolvere esplicitamente e vedo che cozzano il risultato di analisi con quello di fisica1 e non riesco a raccapezzarmi

La EDO del moto armonico è $ddotx(t) + omega^2 x(t) = 0$; la derivata prima non compare.

Che stupido, potevo rileggerla invece di andare a memoria e sbagliare.

Orai seni e coseni tornano, però temo di stare facendo un pasticcio coi conti:

$x(t)=c_1e^tcos(\omegat)+c_2e^tsin(\omegat)$
$\dot\dotx=(c_2-c_1)(cos^2(\omegat)-sin^2(\omegat))\omega^2e^t$

Ora potrei risolvere il problema di cauchi dando condizioni al contrno es: x(0)=A, $\dot\dotx=\omega^2A$

Oppure pensavo, dato che deve essere soluzione derivando due volte e sostituendo arriverei a:

$\omega^2e^t((c_2-c1)(cos^2(\omegat)-sin^2(\omegat)+(c_1cos\omegat+c_2sin\omegat))=0$

e dato che $\omega^2e^t$ è sempre strettamente positivo dovrei risolvere: $(c_2-c1)(cos^2(\omegat)-sin^2(\omegat)+(c_1cos\omegat+c_2sin\omegat))=0$ in teoria risolvendo questa vorei trovare una delleincognite c1 o c2 in funzione dell'altra. Però non riesco bene a risolverla, come converebbe fare?

Guarda che quegli esponenziali non c'entrano proprio nulla.
Fai bene i calcoli.

Ciao algins,

Benvenuto sul forum!

Come ti ha già fatto presente gugo82 stai commettendo diversi errori...

Ripercorrendo un po' quanto hai scritto nei tuoi post, la derivata prima comparsa nel primo post e l'esponenziale nell'ultimo mi è venuto il dubbio che tu in realtà stia cercando la soluzione dell'equazione differenziale seguente:

$\ddot{x}(t) + 2\zeta \omega_n \dot{x}(t) + \omega_n^2 x(t) = 0 $

ove $\omega_n := \sqrt{k/m}$ e $ c/m = 2\zeta \omega_n $
Si trova che la soluzione di tale equazione è la seguente:

$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t} + c_2 e^{- sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t}) $

Ora se $c^2 < 4mk \implies \zeta^2 - 1 < 0 $ (il che accade anche nel caso particolare $\zeta = 0 $) la soluzione può essere scritta nella forma seguente:

$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{- i \omega t}) $

dove si è posto $\omega^2 := \omega_n^2 (1 - \zeta^2) $. Quest'ultima può anche scriversi nella forma seguente:

$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} A sin(\omega t + \phi) $

nella quale compaiono come costanti $A $ e $\phi $.
In generale tieni presente che nei fenomeni fisici se compaiono degli esponenziali devono tendere a $0 $ per $t \to +\infty $, altrimenti viene a mancare il significato fisico...

Grazie!