Vorrei chiedere un aiuto su una domanda davvero semplice ma sono nuovo allo studio dell'analisi e volevo cercaare di risolvere la semplice EDO che ho imparato a fisica con quanto ho appena appreso dal corso di analisi.
Ho seguito la lezione del professore e mi pare di aver capito che è una equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti e del secondo ordine
Essendo $\ddot\x+\omega^2\dotx=0$
Mi scrivo il polinomio caratteristico e arrivo alla soluzione $x(t)=c_1e^(-\omega^2t)+c_2$, essendo $\lamda_1=\omega^2$ e $lambda_2=0$.
Ma da questa che ha forma esponenziale come arrivo a $x(t)=sin(\omegat+phi)$ che si ginge con la maniera semplice di trovare la derivata uguale a se stessa ma di segno opposto? Sì certo è vero che è la funzione trigonometrica coseno (o seno), ma ovviamente anche l'esponenziale funziona. Penso le due cose debbano coincidere ma non riesco amostrare che sia lo stesso risultato!
Vi prego, qualcuno potrebbe illustrarmi bene i passaggi, perché vorrei proprio capirlo. Purtroppo è una domanda che mi sono fatto da solo quella di volerla risolvere esplicitamente e vedo che cozzano il risultato di analisi con quello di fisica1 e non riesco a raccapezzarmi