limite di un integrale

[niccolo123]

ho problemi con lo svolgimento di questo esercizio mi potete dare una mano?
il testo è il seguente:

per $ alpha $ > 0 si definisca

$ F_alpha (x) $ = $ int_(2)^(x^alpha ) sqrt((t) / (|t^(2)+1|)) dt $

per quali valori di $ alpha $ si ha $ lim_(x -> infty) F_alpha'(x )=0 ? $

1) $ 2sqrt(2) $

2) $ (9)/(4) $

3) $ pi $

4) $ sqrt(2) $

ho provato in tutti i modi ma non riesco a calcolare l'integrale di partenza

[gugo82]

Il forum non funziona così.
Idee tue?

[niccolo123]

hai ragione ma ho provato a calcolare l'integrale in tutte le maniere ma proprio non riesco
se mi date una mano mi fate un piacere

[gugo82]

Bene.
Mostraci un po' i calcoli, allora.

[niccolo123]

ok.
ho provato con la sostituzione
$ t^(2)-1=y^2 $
$ t^(2)=y^2+1 $
$t=sqrt(y^2+1)$
$ dt=(y)/(sqrt(y^2+1))$
l'integrale mi viene poi
$ int_(2)^(x^alpha ) ((root(4)(y^2+1))/sqrt(y^2+1)) dy $
$ int_(2)^(x^alpha ) ((root(4)(y^2+1)^3)/(y^2+1)) dy $
e non riesco comunque a risolverlo,probabilmente la sostituzione è sbagliata ma non so veramente come risolverlo

[gugo82]

Non è che la sostituzione è sbagliata (lo è, ma non è questo il punto...), ma è proprio l'approccio all'esercizio ad essere sbagliato.
Nessuno ti sta chiedendo di calcolare quell'integrale, non c'è bisogno.

Cosa dice il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale?
E cosa dice il Teorema di Derivazione delle Funzioni Composte?

[pilloeffe]

Ciao niccolo123,

Benvenuto sul forum!

Il presente solo per segnalarti che il titolo dell'OP è proprio fuorviante...
Di fatto nell'esercizio proposto è assegnata la funzione parametrica

$F_{\alpha}(x) := \int_{a(x)}^{b_{\alpha}(x)} \sqrt(t/(|t^2+1|)) \text{d}t $

con $\alpha > 0 $, $a(x) = 2 $ e $b_{\alpha}(x) = x^{\alpha} $ e ti si chiede di determinare il valore di $\alpha $ in modo tale che risulti

$\lim_{x \to +\infty} F_{\alpha}'(x) = 0 $

Se non ho fatto male i conti la risposta corretta è la 4). Per capire perché rifletti attentamente sui suggerimenti che ti sono già stati dati:

Nessuno ti sta chiedendo di calcolare quell'integrale, non c'è bisogno.

Cosa dice il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale?
E cosa dice il Teorema di Derivazione delle Funzioni Composte?

Ora è tardi e non ho voglia di cercarlo sul forum, ma ricordo distintamente un ottimo post sull'argomento proprio di gugo82...
Magari domani che sono più fresco te lo cerco.
Eccolo qui

[niccolo123]

grazie mille

[niccolo123]

quindi se la risposta è la 4 verrebbe

$ root()((x^root()(2) / (x^(2root()(2))+1)) )*root()2 x^(root()(2)-1) $
?

[pilloeffe]

Più che altro si ha:

$ \lim_{x \to +\infty} sqrt2 x^(sqrt2 - 1) sqrt((x^(sqrt2))/(x^(2sqrt2) + 1)) = 0 $