Proprietà funzione lineare

[algins]

Buongiorno,

notavo che le funzioni lineari come potrebbe essere: $f(x)=3x$ hanno la proprietà che:

$3(a)*3(a)=9a^2$ ossia in generale $f(a)*f(a)=g(a^2)2$.

Il fatto è che non capisco se sia un caso specifico di $3x$ o qualunque tipo di funzione che rispetti:

$f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$
$f(cx)=cf(x)$

abbia tale proprietà.

Come posso dimostrarmi se sia vero o meno?

[Pierlu11]

La notazione $f^2(a)$ si usa sempre per l'operazione $f(a)\cdot f(a)$... cosa c'è da dimostrare?
Da quell'altro $2$ a esponente (inguardabile) deduco che la questioni riguardi il fatto che nel risultato dell'operazione figuri solo il termine in $a^2$ e nient'altro, cioè
\[
f(a)\cdot f(a)=g(a^2)
\]
con $g$ funzione da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$.
Questo è vero solo per le funzioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ che (quelle che soddisfano la proprietà che hai scritto) sono tutte del tipo
\[
f(x)=mx
\]
con $m\in \mathbb{R}$. Infatti
\[
f(x)\cdot f(x)=m^2x^2.
\]

[algins]

Grazie per la risposta innanzitutto

Da quell'altro $2$ a esponente (inguardabile)

E' vero ho sbagliato,il concettoeracomunque quello da te suggerito, ossia avere $m^2a^2$

Questo è vero solo per le funzioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ che (quelle che soddisfano la proprietà che hai scritto) sono tutte del tipo
\[
f(x)=mx
\]

Esatto, e forse si riduce a questo ciò che vorrei dimostrare, se dimostro che tutte le funzioni lineari (cioè che sottostanno alle due proprietà) in $RR$ sono del tipo: f(x)=mx il gioco è fatto perchési riduce alla proprietà commutativa $f(a)*f(a)=ma*ma=m*m*a*a=m^2*a^2=g(a^2)$ quando lineari.

[Mephlip]

Secondo me anche la notazione $f^2 (a^2)$ non è ciò che vuoi dire tu, perché se $f(a)=ma$ hai che $f^2(a)=m^2 a^2$ e allora $f^2(a^2)=m^2 (a^2)^2=m^2 a^4$.

[algins]

Si, hai ragione, ho corretto.
Grazie

[Pierlu11]

... se dimostro che tutte le funzioni lineari (cioè che sottostanno alle due proprietà) in $RR$ sono del tipo: f(x)=mx il gioco è fatto...

Basta la seconda proprietà...
\[
f(x\cdot 1)=x\cdot f(1).
\]
Se poni $m=f(1)$ hai la tesi.

[algins]

Ti ringrazio chiara ed esauriente risposta.

Scusa il disturbo