Unicità del differenziale

Messaggioda algins » 11/05/2020, 11:25

Mi scuso se inserisco una seconda domanda a poca distanza di tempo, nel caso non sia possibile farlo non lo ripeterò :oops: , tuttavia in questi giorni ho accumulato questi due dubbi e vorrei provare a chiarirli con voi del forum.

Il dubbio è come per il titolo del thread riguardo la dimostrazione dell'unicità del differenziale ed è articolata su due punti con sottodubbi (insomma non ho capito molto :oops: ):

1) La dimostrazione prevede di prendere due diversi differenziali (so che il differenziale della funzione è in generale una funzione di x_0 e dell'incremento h, cioè di due variabili).

Ora, presi due differenziali $alphah$ e $betah$ (qui il dubbio 1a, perché prende il differenziae solo funzione di h e non anche di x_0?)

Ma procediamo, fatto questo scrivo:

$f(x_0+h)-f(x_0)-alphah=o(|h|)$ (dubbio 1b, perché è o-piccolo delmodulo di h e non solo di h?)
$f(x_0+h)-f(x_0)-betah=o(|h|)$

Svolgendo la differenza ho

$(alpha-beta)h=o(|h|)$ (dubbio 1c, come fa a passare da $alpha h-betah$ a quanto scritto? Per linearitàdovrebbe essere $a(x+y)=a(x)+a(y)$ e non $a(x)+b(x)=(a+b)x$ la linearità lavora sugli argomeni non sulla somma difunzioni, non mi è molto chiaro)

Inoltre dice che: $(alpha-beta)h=o(|h|)$ conclude la dimostrazione dell'unicità del differenziale e apreil mio 1d-esimo dubbio: perché il fatto che sia o-piccolo mi garantisce che $alphah=betah$ (ossia che sono la stessa cosa e quindi unici?) A me sembra quell'uguaglianza dica che sono diversi ma che al limite a zero posso approssimarli allastessa cosa (ossia sia alpha che beta sono un o-piccolo della stessa funzione h,cioè vengono mandati a zero dalla funzione h per h tendente a zero :smt012 )

2) la seconda cosa che mi chiedo è questa: ma se con il teorema del differenziale dimostro che una funzione è differenziabile, ossia ammette differenziale SE E SOLO SE è derivabile (ossia posso dimostrare che partendo dalla definizione di differenziale giungo alla definizione di derivata in quel punto e viceversa, non la scrivo poiché mi è chiara e non è qui il dubbio), data l'unicità della derivata non dovrei automaticamente anche dimostrare che il differenziale è unico?
Infatti la dimostrazione mostra che $alpha(h)$ coincide con $f'(x)*h$ e f'(x) è unico. Cosa serve quindi la dimostrazione 1? :roll:


Mi rendo conto siano 5 dubbi in una richiesta sola, ma spero davvero di capirli :(
Ultima modifica di algins il 11/05/2020, 16:53, modificato 1 volta in totale.
algins
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 4 di 46
Iscritto il: 09/05/2020, 12:43

Re: Unicità del differenziale

Messaggioda gugo82 » 11/05/2020, 16:16

Vedi qui.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23816 di 24377
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Unicità del differenziale

Messaggioda algins » 11/05/2020, 16:51

Ho letto attentamente i vari casi di "unicità del polinomio approssimante" e in realtà ho ben capito la via trattata dalle dispense che sono molto chiare.

Però mi rimangono i dubbi riguardo l'altra visione impostata dal mio professore e sui miei appunti, credo mi sia utile capire anche quella via percercare di esercitare il più possibile il mio modo di vedere la situazione.
Ti andrebbe, se hai tempoe voglia, di ragionarci assieme? E se non sono stato chiaro provo a riscrivere i punti dove mi sono espresso male.

Grazie per il tuo link :)
algins
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 9 di 46
Iscritto il: 09/05/2020, 12:43

Re: Unicità del differenziale

Messaggioda gugo82 » 11/05/2020, 19:35

algins ha scritto:1) La dimostrazione prevede di prendere due diversi differenziali (so che il differenziale della funzione è in generale una funzione di x_0 e dell'incremento h, cioè di due variabili).

Ora, presi due differenziali $alphah$ e $betah$ (qui il dubbio 1a, perché prende il differenziale solo funzione di h e non anche di x_0?)

Il differenziale è una funzione lineare di $h$; quindi è nella forma $alpha h$, in cui $alpha$ è un numero dipendente da $x_0$, i.e. $alpha=alpha(x_0)$.
Tuttavia, quando $x_0$ è fissato, $alpha$ lo puoi trattare come una normale costante.

algins ha scritto:Ma procediamo, fatto questo scrivo:

$f(x_0+h)-f(x_0)-alphah=o(|h|)$ (dubbio 1b, perché è o-piccolo delmodulo di h e non solo di h?)
$f(x_0+h)-f(x_0)-betah=o(|h|)$

Beh, è lo stesso... Dalla definizione ricavi $"o"(h) = "o"(|h|)$.

algins ha scritto:Svolgendo la differenza ho

$(alpha-beta)h=o(|h|)$ (dubbio 1c, come fa a passare da $alpha h-beta h$ a quanto scritto? Per linearità dovrebbe essere $a(x+y)=a(x)+a(y)$ e non $a(x)+b(x)=(a+b)x$ la linearità lavora sugli argomenti non sulla somma di funzioni, non mi è molto chiaro)

Hai $alpha h + "o"(|h|) = f(x_0 + h) - f(x_0) = beta h + "o"(|h|)$, quindi $alpha h + "o"(|h|) = beta h + "o"(|h|)$ da cui $(alpha - beta) h = "o"(|h|)$.

algins ha scritto:Inoltre dice che: $(alpha-beta)h=o(|h|)$ conclude la dimostrazione dell'unicità del differenziale e apre il mio 1d-esimo dubbio: perché il fatto che sia o-piccolo mi garantisce che $alphah=betah$ (ossia che sono la stessa cosa e quindi unici?) A me sembra quell'uguaglianza dica che sono diversi ma che al limite a zero posso approssimarli allastessa cosa (ossia sia alpha che beta sono un o-piccolo della stessa funzione h,cioè vengono mandati a zero dalla funzione h per h tendente a zero :smt012 )

Basta usare la definizione di $"o"$ o quella pseudo-definizione che sicuramente ti hanno dato in aula.

algins ha scritto:2) la seconda cosa che mi chiedo è questa: ma se con il teorema del differenziale dimostro che una funzione è differenziabile, ossia ammette differenziale SE E SOLO SE è derivabile (ossia posso dimostrare che partendo dalla definizione di differenziale giungo alla definizione di derivata in quel punto e viceversa, non la scrivo poiché mi è chiara e non è qui il dubbio), data l'unicità della derivata non dovrei automaticamente anche dimostrare che il differenziale è unico?
Infatti la dimostrazione mostra che $alpha(h)$ coincide con $f'(x)*h$ e f'(x) è unico. Cosa serve quindi la dimostrazione 1? :roll:

La definizione di differenziale è indipendente (fino ad un certo punto) da quella di derivata.
Quindi prima si fa vedere che il differenziale è quello che è con le sue belle proprietà; poi si dimostra che è legato alla derivata (e le proprietà le puoi derivare anche dalle proprietà della derivata).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23819 di 24377
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Unicità del differenziale

Messaggioda algins » 12/05/2020, 09:13

Grazie gugo82 :D, provo a rispondere ai tuoi spunti, sono davvero contento qualcuno mi abbia ascoltato. Grazie assai!

Iniziamo..

Beh, è lo stesso... Dalla definizione ricavi $"o"(h) = "o"(|h|)$.


Andrebbe bene una dimostrazione del genere?
(indico con $f(h)$ una funzione che appartiene alla classe $o(h)$)

HP: $lim_(h->0)(f(h))/(h(h))=0$

TH: $lim_(h->0)(f(h))/(|h(h)|)=0$

DIM: $lim_(h->0)(f(h))/(h(h))*(h(h))/(|h(h)|)$ e poiché per hp il primo è uguale a zero con l'algebra estesa dei limiti ho $lim_(h->0)(0*(h(h))/(|h(h)|))=0$

Hai $alpha h + "o"(|h|) = f(x_0 + h) - f(x_0) = beta h + "o"(|h|)$, quindi $alpha h + "o"(|h|) = beta h + "o"(|h|)$ da cui $(alpha - beta) h = "o"(|h|)$.


Questo perché il differenziale è lineare e in $RR$ una funzione lineare è sempre del tipo $mx$ (ove m è $alpha$ o $beta$ nello specifico), quindi:
$alphah-betah$ raccolgo la h $(alpha-beta)h$
In realtà quello che prima mi sfuggivae poi ho chiarito era che erano tutte della forma $mx$, altrimenti non potevo farlo. Credo fosse quello il problema di fondo :oops: .


La definizione di differenziale è indipendente (fino ad un certo punto) da quella di derivata.
Quindi prima si fa vedere che il differenziale è quello che è con le sue belle proprietà; poi si dimostra che è legato alla derivata (e le proprietà le puoi derivare anche dalle proprietà della derivata).


Ok perfetto, però una volta fimostrato che il coefficiente deldifferenziale ($alpha$ per intenderci) è la derivata in quelpunto, automaticamente ho anche dimostrato che il differenzialeè unico, giusto?
Insomma è un percorso diciamo didattico ma alivello pratico posso anche mostrarlo con il teorema del differenziale dove mostro essere la stessa cosa.

Spero sia tutto giusto nel caso bacchettami senza pietà :lol: :oops:

Mi rimarrebbe solo un dubbio nel caso non abbia detto solo fandonie sopra, ossia
algins ha scritto:Inoltre dice che: $(alpha-beta)h=o(|h|)$ conclude la dimostrazione dell'unicità del differenziale e apre il mio 1d-esimo dubbio: perché il fatto che sia o-piccolo mi garantisce che $alphah=betah$ (ossia che sono la stessa cosa e quindi unici?) A me sembra quell'uguaglianza dica che sono diversi ma che al limite a zero posso approssimarli allastessa cosa (ossia sia alpha che beta sono un o-piccolo della stessa funzione h,cioè vengono mandati a zero dalla funzione h per h tendente a zero :smt012 )

Basta usare la definizione di $"o"$ o quella pseudo-definizione che sicuramente ti hanno dato in aula.


Mi stai suggerendo che:

$lim_(h->0)((alpha-beta)(h))/(h(h))=lim_(h->0)(o(h))/(h(h))=0$ quindi la funzione $alphah=betah$ nel limite.

se volevi dirmi questo, si è vero, però quello che mi stona è il fatto che sono uguali al limite h->0, ma non sono la stessa funzione. Non dovrei dimostrare che la funzione differenziale è solo una? Mi sembra che qui dico: possono essere anche due diverse, basta al limite coincidano.

Mi scuso per il post un po' lungo,ma con tutte le citazioni indentate si è appesantito :roll:
Grazie ancora per la tua mano.
algins
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 10 di 46
Iscritto il: 09/05/2020, 12:43

Re: Unicità del differenziale

Messaggioda gugo82 » 12/05/2020, 15:28

algins ha scritto:Grazie gugo82 :D, provo a rispondere ai tuoi spunti, sono davvero contento qualcuno mi abbia ascoltato. Grazie assai!

Prego. :wink:

algins ha scritto:
Beh, è lo stesso... Dalla definizione ricavi $"o"(h) = "o"(|h|)$.


Andrebbe bene una dimostrazione del genere?
(indico con $f(h)$ una funzione che appartiene alla classe $o(h)$)

HP: $lim_(h->0)(f(h))/(h(h))=0$

TH: $lim_(h->0)(f(h))/(|h(h)|)=0$

DIM: $lim_(h->0)(f(h))/(h(h))*(h(h))/(|h(h)|)$ e poiché per hp il primo è uguale a zero con l'algebra estesa dei limiti ho $lim_(h->0)(0*(h(h))/(|h(h)|))=0$

L'idea è quella, ma la dimostrazione non va per il semplice fatto che... Che diamine è $h(h)$?

algins ha scritto:
Hai $alpha h + "o"(|h|) = f(x_0 + h) - f(x_0) = beta h + "o"(|h|)$, quindi $alpha h + "o"(|h|) = beta h + "o"(|h|)$ da cui $(alpha - beta) h = "o"(|h|)$.


Questo perché il differenziale è lineare e in $RR$ una funzione lineare è sempre del tipo $mx$ (ove m è $alpha$ o $beta$ nello specifico), quindi:
$alphah-betah$ raccolgo la h $(alpha-beta)h$
In realtà quello che prima mi sfuggiva e poi ho chiarito era che erano tutte della forma $mx$, altrimenti non potevo farlo. Credo fosse quello il problema di fondo :oops: .

Beh, sì.
Ogni funzione $f:RR -> RR$ che sia lineare è del tipo $f(x)=mx$ (con $m=f(1)$).


algins ha scritto:
La definizione di differenziale è indipendente (fino ad un certo punto) da quella di derivata.
Quindi prima si fa vedere che il differenziale è quello che è con le sue belle proprietà; poi si dimostra che è legato alla derivata (e le proprietà le puoi derivare anche dalle proprietà della derivata).


Ok perfetto, però una volta dimostrato che il coefficiente del differenziale ($alpha$ per intenderci) è la derivata in quel punto, automaticamente ho anche dimostrato che il differenziale è unico, giusto?
Insomma è un percorso diciamo didattico ma a livello pratico posso anche mostrarlo con il teorema del differenziale dove mostro essere la stessa cosa.

Spero sia tutto giusto nel caso bacchettami senza pietà :lol: :oops:

Che è esattamente ciò che ti ho detto.
Tuttavia, la cosa interessante è che il differenziale ha delle proprietà che si possono provare indipendentemente dal suo legame con la derivata.

algins ha scritto:Mi rimarrebbe solo un dubbio nel caso non abbia detto solo fandonie sopra, ossia
algins ha scritto:Inoltre dice che: $(alpha-beta)h=o(|h|)$ conclude la dimostrazione dell'unicità del differenziale e apre il mio 1d-esimo dubbio: perché il fatto che sia o-piccolo mi garantisce che $alphah=betah$ (ossia che sono la stessa cosa e quindi unici?) A me sembra quell'uguaglianza dica che sono diversi ma che al limite a zero posso approssimarli allastessa cosa (ossia sia alpha che beta sono un o-piccolo della stessa funzione h,cioè vengono mandati a zero dalla funzione h per h tendente a zero :smt012 )

Basta usare la definizione di $"o"$ o quella pseudo-definizione che sicuramente ti hanno dato in aula.


Mi stai suggerendo che:

$lim_(h->0)((alpha-beta)(h))/(h(h))=lim_(h->0)(o(h))/(h(h))=0$ quindi la funzione $alphah=betah$ nel limite.

se volevi dirmi questo, si è vero, però quello che mi stona è il fatto che sono uguali al limite h->0, ma non sono la stessa funzione. Non dovrei dimostrare che la funzione differenziale è solo una? Mi sembra che qui dico: possono essere anche due diverse, basta al limite coincidano.

No, non hai capito. Rileggi con più attenzione.

Quando è che $mh="o"(h)$?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23821 di 24377
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Unicità del differenziale

Messaggioda algins » 12/05/2020, 16:02

Tralascio i punti chiaritisi per non appesantire :)

L'idea è quella, ma la dimostrazione non va per il semplice fatto che... Che diamine è h(h)?

Un po' una bruttura, volevo indicare la funzione h che dipenda da h e apparteneva a o(h) come classe. Però è un errore, dovevo metterci h e basta. :lol:

No, non hai capito. Rileggi con più attenzione.
Quando è che mh=o(h)?

In effetti questo era il punto più dubbio :smt012.

Ci riprovo, mi sembra che dica $m(h)=o(h)$ quando $lim_(h->0)(m(h))/h=0$

Ora ho che: $lim_(h->0) ((alpha-beta)(h))/h=0$

quindi ho mostrato che $(alpha-beta)(h)$ esattamente come una qualsiasi $mh$ (appartengono alla stessa classe di equivalenza), ma mh potrebbe essere qualunque funzione.

PS: ah no forse forse..

$lim_(h->0)(mh)/h=mlim_(h->0)h/h=m*1=0 <=> m=0$ qindi se $m=(alpha-beta)=0 <=> alpha=beta$
Ultima modifica di algins il 16/05/2020, 10:25, modificato 2 volte in totale.
algins
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 14 di 46
Iscritto il: 09/05/2020, 12:43

Re: Unicità del differenziale

Messaggioda gugo82 » 12/05/2020, 16:58

Ok al P.S.! :wink:

Devi leggere con attenzione: la Matematica non è una gara di velocità.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23828 di 24377
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Unicità del differenziale

Messaggioda algins » 12/05/2020, 17:15

Hai perfettamente ragione, il fatto è che devo imparare a tenere sotto controllo i dubbi.. me ne nascono una marea ed è come se volessi capirli subito a tutti i costi e spesso entro in questo maremoto perhcé temo di non aver capito nulla e mi agito :lol:

Grazie mille per ogni tuo spunto, anche di riflessione :)
algins
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 15 di 46
Iscritto il: 09/05/2020, 12:43


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Cantor99 e 49 ospiti