Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.
11/05/2020, 17:19
Salve a tutti,
il problema è questo : stavo affrontando questo limite
$ lim_(x -> 0) (ln ( (ln(1+x))/x))/x $
e penso mah all' interno del logaritmo esterno vi è una quantità che tende a uno , perciò data l' equivalenza asintotica
$ (ln(1+x))/x ~ 1 $
che vale se x tende 0 ( senza sapere che le regole del principio di sostituzione degli infinitesimi dicono che non è possibile farlo in caso di funzioni composte) sostituisco all' argomento del logaritmo esterno 1 ottenendo
$ lim_(x -> 0) (ln ( 1)/x ) $
Ora vorrei usare il limite notevole
$ lim_(x -> 0) (ln ( 1+x))/x = 1 $
ma nell' argomento del logaritmo del mio limite non vi è un (1+x) bensì un (1), quantità che entrambe tendono a 1 per x tendente a 0 . Ed è qui che sorge il mio problema : per quale motivo il limite è
$ lim_(x -> 0) (ln ( (ln(1+x))/x))/x = -1/2 $
e invece non viene 1 al quale ci si arriva applicando il limite notevole che prima non ho applicato? Alla fine dei conti la quantità nell' argomento del logaritmo esterno del mio limite tende a 1
$ ((ln(1+x))/x)rarr 1 $
e cosi intendendo anche nel limite notevole
$ lim_(x -> 0) (ln (( 1+x)rarr 1))/x = 1 $
Quindi come è possibile che il limite faccia -(1/2)? Devo presumere che il modo in cui
$ ((ln(1+x))/x)rarr 1 $ per x tendente a 0
sia diverso dal modo in cui
$ 1+x rarr 1 $ per x tendente a 0
??
11/05/2020, 17:28
È un errore di approssimazione, hai studiato gli sviluppi in serie di Taylor? Se sì, prova ad usare $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\text{o}(x^2)$ per $x \to 0$.
13/05/2020, 08:37
Si grazie lo farò
13/05/2020, 12:26
Attenzione.
Non c'è nessuna eccezione qui. Il Principio di Sostituzione è un teorema che ha delle ipotesi; se queste non sono soddisfatte, il teorema non si può applicare.
Skuola.net News è una testata giornalistica iscritta al Registro degli Operatori della Comunicazione.
Registrazione: n° 20792 del 23/12/2010.
©2000—
Skuola Network s.r.l. Tutti i diritti riservati. — P.I. 10404470014.