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Salve a tutti,
il problema è questo : stavo affrontando questo limite

$ lim_(x -> 0) (ln ( (ln(1+x))/x))/x $

e penso mah all' interno del logaritmo esterno vi è una quantità che tende a uno , perciò data l' equivalenza asintotica

$ (ln(1+x))/x ~ 1 $

che vale se x tende 0 ( senza sapere che le regole del principio di sostituzione degli infinitesimi dicono che non è possibile farlo in caso di funzioni composte) sostituisco all' argomento del logaritmo esterno 1 ottenendo

$ lim_(x -> 0) (ln ( 1)/x ) $

Ora vorrei usare il limite notevole

$ lim_(x -> 0) (ln ( 1+x))/x = 1 $

ma nell' argomento del logaritmo del mio limite non vi è un (1+x) bensì un (1), quantità che entrambe tendono a 1 per x tendente a 0 . Ed è qui che sorge il mio problema : per quale motivo il limite è

$ lim_(x -> 0) (ln ( (ln(1+x))/x))/x = -1/2 $

e invece non viene 1 al quale ci si arriva applicando il limite notevole che prima non ho applicato? Alla fine dei conti la quantità nell' argomento del logaritmo esterno del mio limite tende a 1

$ ((ln(1+x))/x)rarr 1 $

e cosi intendendo anche nel limite notevole

$ lim_(x -> 0) (ln (( 1+x)rarr 1))/x = 1 $

Quindi come è possibile che il limite faccia -(1/2)? Devo presumere che il modo in cui

$ ((ln(1+x))/x)rarr 1 $ per x tendente a 0

sia diverso dal modo in cui

$ 1+x rarr 1 $ per x tendente a 0

??

È un errore di approssimazione, hai studiato gli sviluppi in serie di Taylor? Se sì, prova ad usare $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\text{o}(x^2)$ per $x \to 0$.

Si grazie lo farò

Attenzione.
Non c'è nessuna eccezione qui. Il Principio di Sostituzione è un teorema che ha delle ipotesi; se queste non sono soddisfatte, il teorema non si può applicare.