Teorema di integrazione per serie di potenze

[RP-1]

Buonasera a tutti,

dovrei calcolare la ridotta n-esima della serie seguente applicando il teorema di integrazione per le serie di potenze

$f(x)=\sum_{k=0}^\inftyx^k/(k+2)$.

Come potrei fare? Pensavo di moltiplicare il termine generale per $x^2$ in modo da ricondurmi alla primitiva della serie geometrica, ottenendo

$s_n = 1/x^2\int\sum_{k=0}^\inftyx^(k+1)$.

Onestamente non sono sicuro si possa fare, sto commettendo qualche errore? Come procedereste?

Grazie a tutti in anticipo!

[pilloeffe]

Ciao RP-1,

dovrei calcolare la ridotta n-esima

Non capisco perché scrivi di ridotta $n$-esima e poi in realtà sembra che ti interessi la somma della serie... Naturalmente la serie proposta converge a $0$ per $x = 0$, mentre per $x \ne 0 $ si può scrivere:

$f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} x^k/(k+2) = 1/x^2 \sum_{k=0}^{+\infty} x^{k + 2}/(k+2) = 1/x^2 \sum_{k=0}^{+\infty} \int_0^x t^{k + 1} \text{d}t = 1/x^2 \int_0^x (\sum_{k=0}^{+\infty} t^{k + 1}) \text{d}t = $
$ = 1/x^2 \int_0^x t (\sum_{k=0}^{+\infty} t^k) \text{d}t = 1/x^2 \int_0^x t/(1 - t) \text{d}t = - 1/x^2 \int_0^x (-t)/(1 - t) \text{d}t = - 1/x^2 \int_0^x (1 - t - 1)/(1 - t) \text{d}t = $
$ = - 1/x^2 [\int_0^x \text{d}t + \int_0^x (-1)/(1 - t) \text{d}t] = \frac{- x - ln(1 - x)}{x^2} $

ove $- 1 <= x < 1 $, $ x \ne 0 $

[RP-1]

Ciao, grazie per la risposta!
Quindi la mia idea non era malvagia, eppure non capisco come portare un termine fuori dal segno di sommatoria non incida sulla somma delle serie. Alla fine si tratta di moltiplicare e dividere il termine generale, ma ciò che divido alla fine è la somma...

[Mephlip]

Te lo puoi spiegare nel seguente modo: se consideri una serie di funzioni, hai che se essa converge definisce
una funzione somma $S(x)$, ossia risulta
$$\sum_{k=0}^\infty f_k(x) = S(x)$$
Ma per definizione di serie
$$\sum_{k=0}^\infty f_k(x) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n f_k(x)$$
Dunque hai
$$S(x)= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n f_k(x)$$
Moltiplicando ambo i membri per una funzione $T(x) \ne 0$ hai
$$T(x)S(x)= T(x) \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n f_k(x)$$
Essendo il limite in $n$ possiamo portare dentro $T(x)$ e dunque
$$T(x) \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n f_k(x)=\lim_{n \to \infty} T(x) \sum_{k=0}^n f_k(x)$$
Ma la somma al membro di destra è finita, quindi
$$T(x) \sum_{k=0}^n f_k(x)=T(x) (f_0(x)+...+f_n(x))=T(x)f_0(x)+...+T(x)f_n(x)=\sum_{k=0}^n T(x)f_k(x)$$
Passando nuovamente al limite e confrontando primo ed ultimo membro ritrovi
$$T(x)S(x)= \sum_{k=0}^\infty T(x)f_k(x)$$
Intuitivamente questo si traduce nel fatto che ogni addendo della somma è scalato di un fattore $T(x)$, quindi nonostante gli addendi cambino (quindi giungi ad una somma diversa $T(x)S(x)$) puoi ottenere la somma ricercata $S(x)$ scalando tutti i termini della somma "cambiata" di un fattore $\frac{1}{T(x)}$ (ossia dividendo la sommatoria per $T(x)$).
(Penso che tutto questo casino si possa comprimere in "proprietà distributiva").

[pilloeffe]

Ciao, grazie per la risposta!

Prego!

[...] eppure non capisco come portare un termine fuori dal segno di sommatoria non incida sulla somma delle serie.

Non sono sicuro di aver capito bene il tuo dubbio. Dal segno di sommatoria si può portare fuori tutto ciò che non dipende dall'indice di sommatoria, cioè

$\sum_{k=0}^{+\infty} t^{k + 1} = \sum_{k=0}^{+\infty}t \cdot t^k = t \sum_{k=0}^{+\infty} t^k $

Se non ti piace l'idea o non ci credi prova a scrivere esplicitamente i termini ed otterrai lo stesso risultato:

$ \sum_{k=0}^{+\infty} t^{k + 1} = t + t^2 + t^3 + ... = \sum_{k=0}^{+\infty} t^k - 1 = 1/(1 - t) - 1 = t/(1 - t) $

[RP-1]

Grazie a entrambi, chiarissimi !