Continuità di una funzione

Messaggioda Daken97 » 12/05/2020, 09:04

Salve a tutti, mi stavo imbattendo nella definizione di un punto in cui la funzione continua. Essa prevede che la continuità è verificata in un punto $ x0 $ del dominio in cui $ lim_(x -> x0) f(x)=f(x0) $. Ma per quanto riguarda i punti di frontiera (non isolati, ovviamente), come bisogna comportarsi? Perché ad esempio, io ho letto che la funzione $ y=sqrt(x) $ è continua nel suo dominio, tuttavia nel punto $ x0=0 $ , il limite non esiste, perciò mi chiedevo se in questo caso, fosse sufficiente la sola esistenza del limite destro, il cui valore coincide con $ f(x0) $ .
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda Mephlip » 12/05/2020, 09:15

Ma l'hai detto tu stesso all'inizio, $x_0$ deve appartenere al dominio.
Il limite di $\sqrt{x}$ per $x\to 0$ esiste eccome ed è $0$, i limiti si fanno per punti appartenenti al dominio della funzione in esame.
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda axpgn » 12/05/2020, 09:26

Forse intendeva dire che il limite non esiste perché in quel punto esiste solo il limite destro …
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda Daken97 » 12/05/2020, 10:37

axpgn ha scritto:Forse intendeva dire che il limite non esiste perché in quel punto esiste solo il limite destro …



Esatto. $ lim_(x -> 0) sqrt(x) $ come fa ad essere uguale a 0? Lo è soltanto in un intorno destro, visto che a sinistra di quel punto la funzione non è mai definita. Ricordatevi che il limite di una funzione esiste se e solo se esistono il limite destro e il limite sinistro, e coincidono. Anche se, effettivamente questo è un caso borderline, perché in effetti tutti i punti del dominio che appartengono ad un intorno di $ x0 $, rispettano i requisiti richiesti, ma allora bisognerebbe dire che la relazione $ lim_(x -> c+)f(x)=lim_(x -> c-)f(x)=lim_(x -> c)f(x) $ , è valida solo nei punti interni al dominio, cosa che non ho letto in nessun testo. Insomma, le definizioni entrano in conflitto fra loro.
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda pilloeffe » 12/05/2020, 10:56

Concordo con l'interpretazione di Alex... Cioè secondo me l'OP dice che $\lim_{x \to 0} \sqrt{x} $ non esiste perché $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 $ e non esiste $ \lim_{x \to 0^-} \sqrt{x} $. Ma non ha proprio senso porsi la domanda se una funzione è continua dove non è definita (Il settore 7 non esiste... E noi non prendiamo ordini da quelli che non esistono. Cit. dal film... :wink: )
Nel caso citato si ha $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = f(0) = 0 $ e si parla di continuità della funzione a destra di $0$, che è dove è definita la funzione e quindi il solo campo dove può avere un senso indagare sulla sua continuità.
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda axpgn » 12/05/2020, 11:06

Daken97 ha scritto:… è valida solo nei punti interni al dominio, cosa che non ho letto in nessun testo. Insomma, le definizioni entrano in conflitto fra loro.

Mah, non mi pare … in tutti i libri che ho letto si parla di limite destro e sinistro e poi di limite, idem per la continuità … come è stato detto più e più volte in questo sito (ma anche nei libri) non ha senso parlare di continuità di una funzione dove non è definita … quello che confonde, spesso, è la nozione di "discontinuità" che viene data nelle superiori perché la si definisce anche fuori dal dominio (errando); da ciò nasce la conclusione sbagliata che se una funzione può essere discontinua fuori dal dominio allora potrebbe anche essere continua fuori dal dominio … IMHO

Cordialmente, Alex
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda Daken97 » 12/05/2020, 11:06

pilloeffe ha scritto:Concordo con l'interpretazione di Alex... Cioè secondo me l'OP dice che $\lim_{x \to 0} \sqrt{x} $ non esiste perché $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 $ e non esiste $ \lim_{x \to 0^-} \sqrt{x} $. Ma non ha proprio senso porsi la domanda se una funzione è continua dove non è definita (Il settore 7 non esiste... E noi non prendiamo ordini da quelli che non esistono. Cit. dal film... :wink: )
Nel caso citato si ha $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = f(0) = 0 $ e si parla di continuità della funzione a destra di $0$, che è dove è definita la funzione e quindi il solo campo dove può avere un senso indagare sulla sua continuità.


Il fatto è che, anche $ lim_(x -> 0)sqrt(x) $ è ambiguo... perché da un lato, la funzione a sinistra di $ x0 $ non è definita per valori reali, ma d'altra parte, la definizione di limite richiede di prendere in considerazione solo i punti di un intorno completo di $ x0 $ che appartengono al dominio. Come ho scritto sopra, ci sono alcune definizioni che entrano in conflitto fra loro.
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda axpgn » 12/05/2020, 11:07

Daken97 ha scritto:Come ho scritto sopra, ci sono alcune definizioni che entrano in conflitto fra loro.

Riportale qui, citando anche la fonte e poi ne riparliamo :D
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda Daken97 » 12/05/2020, 11:21

axpgn ha scritto:
Daken97 ha scritto:Come ho scritto sopra, ci sono alcune definizioni che entrano in conflitto fra loro.

Riportale qui, citando anche la fonte e poi ne riparliamo :D


1) $ lim_(x -> c) f(x)=l $ se e solo se $ lim_(x -> c-)f(x)=lim_(x ->c+)f(x)=l $

2) D'altra parte, come ho scritto più volte, nella definizione di limite è richiesto di prendere in considerazione solo i punti di un intorno di $ x0 $ che appartengono al dominio, perciò $ lim_(x -> 0)sqrt(x) $ può essere uguale a 0, nonostante non esista il limite sinistro.
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda axpgn » 12/05/2020, 13:13

Non ho chiesto questo; riporta le fonti in contrasto anzi cita il riferimento così da poterle confrontare, contesto compreso.
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